积分及其应用.doc

,若有,,在区间(-∞,+∞)上有,于是是在该区间上的一个原函数;不难看出,,,(为任意常数),若是在区间上的一个原函数,(为任意常数)都是在区间上的原函数,而且的所有原函数可表示为(为任意常数).,记作其中“”称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量. 由定义可知,若是的一个原函数,即,则,其中是任意常数,,这是幂函数的不定积分公式,:,,,,,,(微分)的互逆性质(1),即:一个函数先进行积分运算,再进行求导运算,两者作用相互抵消,得到的是这个函数本身;(2),即:一个函数先进行求导运算,再进行积分运算,(1),即:被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面;(2),即:,:(1);(2);(3).例6某产品在时刻(小时)的总产量的变化率为,且已知时产量为0,(或微分)的逆运算,,由导数公式,有,.,为方便记忆,下面将基本初等函数的导数公式及其对应的基本积分公式同时列出,,,34,,567891011例1求下列不定积分:(1);(2);(3);(4).,最大需求量为5000(即价格为0时的需求量是5000).已知边际需求为,,已知10000件产品的总成本是1200百元,(有时需先对被积函数作简单的恒等变形)求不定积分的方法,,下面介绍不定积分的换元积分法和分部积分法,,可以将微分凑成,使变量一致为,即(凑微分)(变量替换)(求不定积分)(变量还原).一般地,,:(1);(2);(3);(4).第一换元法是把以为积分变量的积分通过变换而变为关于积分变量的积分,但有时,情形恰好相反..这种积分法称为第二换元积分法,主要解决含根式函数的积分,即选择一种替换法消除根号,,具有连续导数,则此式称为分部积分公式,这一公式说明,如果计算积分较困难,而积分易于计算,,一般地,的选择应使易于求得,:(1);(2);(3).(1)曲边梯形的面积如图6-1,在直角坐标系中,?我们采用极限方法,即先求近似值,通过“无限接近”,导出准确值,具体做法如下:①分割用个分点将区间分割成个小区间,,则将曲边梯形分割成了个小曲边梯形(如图6-2所示).②近似任取,在每个小曲边梯形中“以直代曲”,以为高、为底的矩形面积近似代替第个曲边梯形的面积,即.③求和将个小矩形的面积加起来,便得到整个曲边梯形面积的近似值,即.④取极限分割越细,近似值越精确,当各小区间的长度最大者趋向于0时,上述和式的极限便是曲边梯形面积的精确值,即.(2)变速直线运动的路程设某物体沿直线作变速运动,其速度是时间的函数,则从时间到这段时间内此物体所走过的路程是.(3)非均匀生产的总产量设某一生产过程的总产量对时间的变化率(即边际产量)为,,但解决问题的方法和数量关系是一个模式,即①任意分割;②以直代曲或以常量代变量求局部的近似值(微元);③作讨论范围内近似值的和;④,这种思想方法抽象出来