积分及其应用.doc

,掌握不定积分的性质,熟记基本积分公式;、第一类换元法、第二类换元法及分部积分法并能熟练的运用;,掌握定积分的性质;理解积分上限函数,熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式;;,会判定广义积分的敛散性;,:不定积分的直接积分法,第一、二类换元法及分部积分法;定积分的换元积分法和分部积分法,:、直接积分法一、,则其原函数一定存在;设的任意两个原函数与,则(为常数);;积分与求导互为逆运算:或;,常用的技巧有“将分子加一项减一项”、“将分子、分母同乘一个因子”或“利用三角函数的恒等变形”、典型例题解析例1设,,所以.(对性质的理解)例2设为的一个原函数,,得于是(理解概念和性质).(将分子加一项减一项).(利用三角函数公式进行恒等变形).(将分子、分母同乘一个因子).第二节换元积分法和分部积分法一、“凑微分”的方法,步骤为(凑微分)(积分形式不变性).其中“凑微分”是关键的一步,并且“凑微分”的方法、技巧灵活多变,,即或,与,分别适用于三类函数,与.“倒代换”,,得到的新的积分比原积分更不易求出,所以选取时首先考虑要容易求得,即“凑微分”容易凑成;其次要考虑比(即原积分),、(凑微分法)=.,:⑴;⑵;⑶;⑷.解⑴.⑵.⑶.⑷.:⑴;⑵;⑶;⑷.解⑴令,则.⑵令,则.⑶(令).⑷令,,:⑴;⑵;⑶.解⑴.⑵.⑶,、性质与基本公式一、(第一类),,则在上可导,;;.-莱布尼兹公式如果在上分段连续或是分段函数,是其间断点或分段点时,牛顿-莱布尼兹公式则有:.二、,则,令,得唯一驻点,又,,,则,两边积分,即,,应先把变量(在积分过程中它是常数)移出积分号外再求导,[0,+]内连续且>0,证明函数在(0,+)=,=故由商的求导法则和得=>0,故在(0,+)—布尼兹公式的使用例6计算下列定积分:⑴;⑵;⑶.解⑴.⑵.⑶.、,当原积分变量改换为新的积分变量时,原积分上下限也要相应换成的上下限,即“换元必换限”.在换元换限后,按新的积分变量做下去,,由确定的,可能,也可能,但必须保证下限对应的仍放在下限,上限对应的仍放在上限,即“换限须对应”.,(求导)性质奇函数的导数是偶函数;;偶函数的原函数只有是奇函数,、=====.,则;[0,1]上连续,证明(1);(2),(1)设,且当时,;当故===.(2)设,==∴=.利用此公式可得:====.例4设函数,,则====.,则所以,=证明设,由分部积分公式可得:=