正交子空间.doc

正交子空间辽东学院教案纸课程:?3正交子空间教学目的通过教学,使学生理解Euclid空间的子空间的正交概念,基本掌握有限维子空间的正交补定理及其应用(教学内容本节考察Euclid空间的子空间的正交关系,进一步揭示Euclid空间的结构;同时,也介绍了正交投影的一个应用——最小二乘法(,W是Euclid空间V的两个子空间(若对于任意12的α?W,β?W,都有12〈α,β〉=0(则称W与W正交,记作W?W(一个向量α,若对于任意的β?1212W,都有〈α,β〉=0,则称α与子空间W正交,记为α?W,或〈α,W〉1111=0(因为只有零向量与它自身正交,所以由W?W可知W?W=0;1212由α?W及α?W可知α=(,11关于正交的子空间,,W,„,W两两正交,则和W+W+„12t12+W是直和(t证设α?W,i=1,2,„,t,且iiγαα+α+„+α=,(12t用α与等式两边作内积,则i〈α,α〉=0(iiβ从而α=,i=1,2,„,t(这就i是说,和W+W+„+W是直和(,若W是一条过原点的直线或一个过原点的平面,3而α是V的任意一个向量,则α可以分解为α在W上的正交投影β3与一个垂直于W的向量γ的和(图91)(这在一般的Euclid空间中也有类似的事实(设W是Euclid空间V的一个非空子集(令?W={α?V|〈α,W〉=0},(1)???则,?W,因而W?,(其次,设a,b?R,α,β?W(则对于任辽东学院教案纸课程:?W,都有aα+bβ,γ=aα,γ+bβ,γ=0,??因此a+b?W(这样,W是V的一个子空间((则?V=W,W,因而V的每一向量α可以唯一地写成=+,(2)αβγ?这里β?W,γ?W(?证当W=0时,定理显然成立,这时W=V(设W?0(由于W的维数有限,因而可以取W的一个标准正交基{β,β,„,β},12ss=dimW(设α?V(令=<,>+<,>+„+<,>,=,(βαββαββαββγαβ1122ss则β?W,且〈γ,β〉=〈α,β,β〉=〈α,β〉,〈β,β〉iiii=〈α,β〉,〈α,β〉=0,i=1,2,„,s(ii?由于,„,是W的基,所以与W正交,即?W(因此,V=W+Wββγγ1s?(于是,(?在这里,子空间W叫做W的正交补(分解式(2)右边第一个加项β叫做向量α在子空间W上的正交射影(这样,Euclid空间V的每一向量α都可以分解为α在任意一个有限维子空间W上的正交射影和一个与W正交的向量的和,并且这种分解是唯一的(,在空间V里,设W是过原点O的一个平面或一条直线(令α=OP3是V的任意一个向量(则P点到W的最短距离就是P到W3的垂线的长度|α,β|(这也可以从另一角度来考虑问题(设α是空间V的一个向量(我们希望用W的一个向量β来逼近它,则除非α3?W,“误差向量”α,β不会等于零(然而我们知道,仅当β是α在W上的正交射影时,误差向量的长度|,|最小(一般说来,,αV,β是α在W上的正交射影(则对于W中任意向量β,?β,都有|α,