2-3.正交子空间.ppt

矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系 Department of Mathematics Department of Mathematics 内积空间内内积积空空间间第二章第第二二章章 Department of Mathematics 教学内容和基本要求 ,掌握正交基及子空间的正交关系. 3. 理解酋空间的概念,会判定空间是否酋空间的方法, 2. 了解内积空间的同构的含义,. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质重点:内积空间的概念; 正交基及子空间的正交关系难点: 正交变换的判定方法 Department of Mathematics 一,子空间的正交 1,定义: 2) 与是欧氏(酉)空间 V中的两个子空间,如果对 1V 2V 则称子空间与为正交的,记作 2V 1V 1 2 . V V ? 1 2 , , V V ? ?? ? ?恒有§ 正交子空间 1) 设是欧氏(酉)空间 V中的子空间, 如果对 恒有( , ) 0, ???则称向量与子空间正交,记作? ?? 1V ,V?? 1,V?? ? 1V Department of Mathematics ① 当且仅当 中每个向量都与 正交. 1 2 V V ? 1V 2V ② 1 2 1 2 {0}. V V V V ? ? ??③当 且 时,必有 1V?? 1V??0.???? 1 2 ( , ) 0 0. V V ? ???? ? ????? ?说明:④若,则: 21 21VVVV dim dim ) dim( ??? 1 2 V V ? Department of Mathematics 2,定理: (1), 设酉(欧氏)空间,为标准正交基,则: LV?],,,[ 21n???? n???,,, 21? njijiLL ji,,2,1,,,)()(??????(2), 设,则: )( ),( snsnmnmnRCBRCA ??????0)()(???BABRAR H证明:设: ],,,[,],,,[ 21 21s mbbbBaaaA?????sjm ibaba BRbARaBRAR j H j ji ii ,,2,1;,,2,10),( )( ),()()(???????????0??BA H Department of Mathematics 反之, sjm ibabaBA jj H H ii ,,2,1;,,2,10),(0????????)( ),(BRyARx???令: C,,, 21 2211 ????? m mmkkkakakakx??Ctttbtbtbty s ss?????,,, 21 2211??则有: 0),(),( 11?????? jij mi sj ibatkyx即: )()(BRAR? Department of Mathematics 二、正交子空间的和 1. 正交补的定义: 如果欧氏空间 V的子空间满足 并且 1 2 , V V 1 2 , V V ?则称 为 的正交补. 2V 1V 1 2 , V V V ? ? V的每个子空间 都有唯一正交补. 1V n 证明: 当时, V 就是的唯一正交补. 1 {0} V? 1V 当时, 也是有限维欧氏空间. 1V 1 {0} V? 1 2 , , , , m ? ? ??取的一组正交基 1V Department of Mathematics 由定理,它可扩充成 V的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n ? ? ????? ?记子空间?? 1 2 , , . m n L V ? ???? 1 2 . V V V ? ?显然,又对 1 1 2 2 1 , m m x x x V ? ???? ?????? 1 1 2 , m m n n x x V ? ? ?? ?? ???? 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m x x x x ?? ?????