降落伞选择问题-数学建模.doc

降落伞的选择问题组长:张瑜组员:杨璐组员:胡潇摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案,在满足空投物资重量的前提下,使购买降落伞的费用最小。该问题是一个优化问题,以购买降落伞的费用最小构造目标函数,以救灾物资,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件,进行线性规划,建立优化模型。经过LinDo软件对模型进行求解,最终得出最佳方案为3的降落伞数量为6个,其它半径的降落伞不予选购,以及最小费用为4793元。首先,我们需要计算各规格降落伞的价格,可知其价格由伞面费,绳索费,固定使用费三部分构成,以此进行计算。其次,我们需要计算出阻力系数,;之后,我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量,经过之前计算出的速度与时间的关系式,推出速度与质量的关系,再确定质量与速度的关系,从而经过计算得出不同半径降落伞的最大载重量;最后列出目标函数和约束条件,进行线性规划,利用LinDo软件得出最终结果。总之,我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化,为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。关键字:优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO问题重述为了向灾区空投救灾物资,需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为、、、、五种型号,降落伞的造价由伞面费用,绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞用长为的16跟绳索连接重物,重物位于球心正下方的球面处,降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外,还受到空气的阻力。而且能够认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下,使购买降落伞的费用最小。(具体数据见附录中表格1,表格2)问题的提出为向灾区空投救灾物资共,需选购一些降落伞,已知空投高度为,要求降落伞落地时的速度不能超过20。降落伞面为半径的半球面,用每根长为的16根绳索连着载重的物体位于球心正下方球面处,如图1所示。 降落伞1m 图1每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径决定;绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定;其它费用为200元。降落伞在降落的过程中受到了空气的阻力,为了确定阻力的大小,用半径3、载重为300的降落伞从500高度做降落实验,测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个伞半径多大,在满足空投要求的条件下,使费用最低。模型分析 这是一个优化问题,所求目标函数是降落伞的总费用。针对这个问题我们主要分三部分来分析的。首先,计算各规格降落伞的价格,由已知其价格的三部分组成:伞面费,绳索费,固定使用费。伞面费为题目所给不同半径决定,绳索由长度决定,固定使用费为常数。其次,我们分析物资在投放过程中的受力情况。忽略了了其它因素影响,有牛顿第二定律分析可得,是物资受到向下的重力和向上的阻力。接下来的问题就是求出阻力系数。求阻力系数,我们用了两种方法。第一种:利用牛顿第二定律,得出速度关于时间的表示式,又由对速度的积分,得出高度与速度的关系,再用MATLAB作出时间与高度的关系图,分析图像作线性回归,利用MATLAB软件计算出阻力系数;第二种:求出的速度的表示式,用MATLAB软件做出速度与时间的关系图,分析可得出阻力系数的大小。另外,对于确定不同规格的降落伞最大载重量,利用给速度的关系式,逐步推出速度与质量的关系,进而求得最大载重量。最后,我们写出了目标函数,而且结合约束条件得出了线性规划,利用LINDO软件得出结果模型分析 符号说明():分别表示购买的半径为的降落伞的价格,单位(元)。():分别表示购买半径为的降落伞的绳索的价格,单位(元)。():分别表示购买的半径为的伞面面积,单位()。():分别表示购买一个半径为的降落伞的各自总费用,单位(元)。:指的是半径的最大载重量,单位()。:表示t时刻降落伞的速度单位()。:表示降落伞的受力面积,单位()。:表示时间,单位()。:表示空气阻力系数:货物的质量,单位()。:重力加速度,单位()。。,和一个能够视为非重力因素共同作用下的合力空气阻力的影响,不考虑横向受力。。,和下落过程中计算高度时,可将物资看做质点。,其系数成为空气阻力系数,为常数。,每个降落伞固定费用是常数为200元。模型建立由模型分析可知,这是一个优化问题,要建立费用最小的目标函数,和以不同规格的降落伞总载重量大于等于作为约束条件,在LINDO软件中计算出不同规格降落伞的选择个数,得出一个最优方案。对此问题分三步进行:第一步:计算各规格单个降落伞的费用 在建立目标函数时,总费用是各规