微积分论文 3.doc

微积分论文 3.doc微积分发展史的认识及应用姓名:张佳佳班级:数学1班学号"20701010027摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。关键词微积分;应用;微分;积分;物理,几何引言微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需耍屮产生,乂反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今,微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名冃繁多的数学分支是树枝,而树干的主耍部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就Z-o从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数学进入了“变量数学”时代,即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理,经济等方而的具体应用,得到微积分在现实生活中的重要意义,从而能够利用微积分这-•数学工具科学地解决问题。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始,进而达到抽象思维,也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性,受到时代的局限。随着人类认识的深入,认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展,人类对自然的探索永远不会有终点。1 一阶微分定义:设函数y=F(x)在某区间内有定义,兀()及x0+Ar在此区间内。如果函数的增量Ay=/(x0+Ax)^/(心)可表示为Ay=AAx+o(Ax)(其中A是不依赖于山的常数),而。(心)是比心高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点仏是可微的,且人心称作函数在点心相应丁自变量增量心的微分,记作血,即dy=A^xo通常把口变量x的增量心称为自变量的微分,记作dx,即dx=\xoT-是函数y二/(x)的微分乂可记作dy=f(x)dxo函数的微分与自变量的微分Z商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。几何意义设心是曲线y二/⑴上的点M的在横坐标上的增量,匕是曲线在点M对应心在纵坐标上的增量,⑪是曲线在点M的切线对应心在纵坐标上的增量。当IAxI非常小时」-dyI比I心I要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。,是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。AZ二AAr+BAy+o(p)为函数Z在点(兀,刃处的全增量(其中A、B不依赖丁心和而只与x、y有关,p“n伽+BAy即是z在点的全微分。总的来说,微分学的核心思想便是以直线代替曲线,即在微小的邻域内,可以用一段切线段來代替曲线以简化计算过程。(Q为函数/(兀)的一个原函数,我们把函数/(兀)的所有原函数FM+C(C为任意常数)叫做函数/(X)的不定积分。记作JfZ。其中J叫做积分号,/(切叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知:求函数/(Q的不定积分,(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数/(龙)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数/仕)的不定积分。,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数,其中:[FM+C]=fM~个实变函数在区间S,/升上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。积分从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如:已知定义在区间I上的函数/(x),求一条曲线y=F(x\xel,使得它在每一点的切线斜率为F(x)=/Wo函数/(兀)的不定积分是/(x)的全体原函数(见原函数),记作。如果F(劝是门兀)的一个原函数,则,其中C为任意常数。例如,定积分是以平而图形的面