利用导数处理不等式证明问题.docx

利用导数处理不等式证明问题利用导数求出函数单调性来证明不等式在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明函数的单调性,,求证:.令,则,.当时,∴在上单调递增.∴,,求证:.要证,只需证,即(或).方法一:设,则.∵,∴,.∴.∴在上单调递增.∵,∴,故,:设,则.∴有上单调递减.∵,∴,,:对任意的正整数,当时,,①当为偶数时,令,,,在上递增,;②当为奇数时,注意到,所以要证,,则,在单调递增,.综上可知,对任意的正整数,当时,,函数,.⑴求的单调区间与极值;⑵求证:当且时,.⑴单调递减区间是,单调递增区间是,极小值为⑵设,.于是由⑴知当时,,都有,所以在内单调递增,于是当时,对任意,,.即,,:.由题设知,函数的定义域是,.依题意有两个不同的实根,即的判别式,即;且,.①又,①知:,.,,;当时,,,当时,..⑴用表示出,;⑵若在上恒成立,求的取值范围;⑶证明:.⑴.⑵.⑶由⑵知:当时,,有,且当时,.令,有,即,,2,3,…,.将上述个不等式依次相加得,整理得.【拓展3】已知函数(为自然对数的底数).⑴求的最小值;⑵设不等式的解集为,且,求实数的取值范围;⑶设,证明:.⑴.⑵.⑶由⑴得,对于任意,都有,,则.∴,即,.∴.∵,∴.利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值,由该函数取得最大(或最小)值时不等式都成立,,,:当时,.当时,.,,,在是增函数;当时,,,因而当时,,即;所以当时,.2.,求证:当时,.,当时,.∴在上单调递减,故,,、时,,即有,∴.已知函数,.⑴若,,求证:对任意,恒有;⑵若对任意,恒有,求证:.⑴证明:由,,,可得,所以当或时,,当时,.所以函数的增区间为,,减区间,又,,,,故对任意,恒有,即对任意,恒有.⑵证明:由可得:,,因此(上面两式联立消)由,又对任意,恒有,所以,,.⑴求函数在区间上的最小值;⑵证明:对任意,,都有成立.⑴.⑵证明:由⑴可知在时取得最小值,又,,;,又,可知,所以对任意,.⑴求函数的最小值;⑵求证:.