四点共圆问题-(数学竞赛).doc

:..四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式:(1)证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆;(2)通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识(1)若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上;(2)在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆;(3)若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆;(4)若点在线段的同侧,且,则四点共圆;(5)若线段交于点,且,则四点共圆;(6)若相交线段上各有一点,且,则四点共圆。四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例1、已知是圆内接四边形,,过点作的垂线,垂足分别为点求证:平分例2、给定锐角,以为直径的圆与边上的高线及其延长线交于点,以为直径的圆与上的高线及其延长线交于点。证明:四点共圆。例3、在等腰中,为底边上任意一点,过点做两腰的平行线分别与交于点,又点是点关于直线的对称点。求证:点在的外接圆上。分析:G例4、是圆内接四边形,是圆的直径,,与的交点为,点在的延长线上,连结,点在的延长线上,使得,点在的延长线上,.证明:四点共圆。例5、在的边上分别取点,使得。求证:例6、在梯形中,,,,且,求的长例7、在锐角中,是高,是上一点,联结并延长交于点,联结并延长交于,已知四点共圆,问:点是否一定是的垂心?证明你的结论例8、已知的重心关于边的对称点是,证明:四点共圆的充要条件是例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线,则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。例10、已知凸五边形中,,且满足,求证:五点共圆例11、已知和相交于,延长交于,延长交于,试证:是的内心课后思考题:1、设是等腰底边的中点,过两点(但不过点)任作一圆交直线于,联结,交此圆于点,求证:2、为的直径,点在上且,为上一点,位于点之间,直线与的延长线交于点,过作直线与垂直,交直线于点,求证:AHPCEQBD3、如图,在中,,与交于点,为边的中点,过点作,垂足为,求证:4、凸四边形的内切圆,切边的切点分别为,联结,点分别为的中点,求证:四边形为矩形的充分必要条件是四点共圆5、如图,在锐角△ABC中,AB<AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC,垂足为E,做PF⊥AB,垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。(2007全面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式:(3)证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆;(4)通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识(7)若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上;(8)在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆;(9)若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆;(10)若点在线段的同侧,且,则四点共圆;(11)若线段交于点,且,则四点共圆;(12)若相交线段上各有一点,且,