多项式最大公因式最优求法的探讨毕业论文.doc

多项式最大公因式最优求法的探讨毕业论文.doc唐山师和学院本科毕业论丈题 目学 生指导教师年 级专 业系 ,如辗转相除法、因式分解法、多项式组合法、矩阵初等变换法、等效变换法等,对这些方法进行了详细的证明,由这些方法得出了求最大公因式的一些性质,通过讨论,,本文通过具体实例对最大公因式的各种求法的优劣性进行了比较,,也是高等代数的的重要组成部分,它在数学的理论与应用中都有十分重要的意义,,在各种高等教材中已经做了许多基本方法的介绍,但在我们的实际应用中,这些基本方法存在运算过程发杂,,探讨求最大公因式快速、准确、,、因式分解法和组合法,,,、基本概念设P是一个数域,P[启为数域P上的一元多项式环,有如下定义和定理:定义1设j'(X)、g(x)是P[x]中的两个多项式,如果满足』(Q是/(X)>gO)的公因式,且/(同、g(x)的公因式都是d(x)的因式,则称多项式d⑴是/(')、g(x)[x]中的任意两个多项式/(%).g(x),在P[田中存在最大公因式d(x),且d(x)可表成f(x)、g(x)的一个组合,即存在多项式以(X)、v(x)满足d{x)=w(x)/(x)+v(x)g(x)证明:假设/•(])、g(x)有一个为零,不妨设g(x)=o,则可知/(X)是一个最大公因式,显然存在多项式心)=1,心)=1,满足/(x)=l-/(x)+IO假设/(X)、g(x)全不为零,(x)除/(x),得到商名⑴,余式*(、),此时:若*(同=0,可得^(x)|/(x),即g(x)是一个最大公因式,可求得多项式“0)=1,v(x)=|-^j(x),满足①式;若*0)^0,就用*(尤)除g(x),余式方⑴,若投工)=。,可得/](x)|g(x),即*(工)是一个最大公因式,可求得多项式=1,v(x)=-67,(X),满足①式;若尸(局。0,就用么(X)除*(尤),得到商03(X),余式弓(以以此类推,所得余式的次数不断降低,即3(g(x))>3(*3))>d(r2(x))> 但g(x)的次数有限,因此在辗转相除有•限次后,必有一余式为零,于是可得:f(x)=g(x)^l(x)+rl(x)g(x)=02(x)*a)+,3(x)/;_2(x)= (x)^.(x)+rs(x)八一2(尤)=rs-\(睥(对+rsWXi⑴=脾)么急)+。由(1)可知/;(、)是/(x).g(x)(x).v(x)满足①式,事实上,变形上面倒数第二式有八(')=八_2(局一1—](工)么(局,同理可解得/;_.(X)./;_2(X)……将解得余式代入上面的运算式,并逐个消去,即可得定理1的①、主要方法及证明由定义1可知,若《(对、d2(x)是j'Cx)、g(W的两个最大公因式,则必有《3)”2彼),么⑴叵⑴,而又由整除的性质可得:】2(尤)=%心),:两个不全为零的多项式的所有最大公因式均只相差一个非零常数倍,那么,根据此性质,首项系数为1的那个最大公因式是唯一确定的,且记为(/(%),g(x))・ ,求多项式f(x)、g(x)的最大公因式,其中表达式分别为f(x)=2x4+3疽+4亍+2尤+1,g(x)=b+F+4亍+3尤+3事实上,多项式的最大公因式只相差一个非零常数倍,因此在