多项式最大公因式最优求法的探讨（毕业设计论文doc）.doc

唐山师范学院本科毕业论文
题目多项式最大公因式最优求法的探讨
学生
指导教师讲师
年级 2009级
专业数学与应用数学
系别数学与信息科学系

唐山师范学院数学与信息科学系
2013年4月
目录
标题多项式最大公因式最优求法的探讨 1
中文摘要 1
引言 1
1 基本概念 `1
2 最大公因式的求法 5
辗转相除法 5
因式分解法 7
多项式组合法 8
等效变换法 10
矩阵初等变换法 13
3 优劣性比较 19
4 结束语 22
参考文献 23
致谢 24
外文页 25
多项式最大公因式最优求法的探讨
摘要本文介绍了多项式最大公因式的几种常规求法,如辗转相除法、因式分解法、多项式组合法、矩阵初等变换法、等效变换法等,对这些方法进行了详细的证明,由这些方法得出了求最大公因式的一些性质,通过讨论,,本文通过具体实例对最大公因式的各种求法的优劣性进行了比较,进而探讨出某些具体多项式最大公因式最优的求法.
关键词最大公因式辗转相除法因式分解法组合法初等变换
前言
多项式理论不仅是中学代数的主要内容之一,也是高等代数的的重要组成部分,它在数学的理论与应用中都有十分重要的意义,,在各种高等教材中已经做了许多基本方法的介绍,但在我们的实际应用中,这些基本方法存在运算过程复杂,,探讨求最大公因式快速、准确、,、因式分解法和组合法,,,因此讨论其性质及其应用具有重要意义.
1、基本概念
设是一个数域,为数域上的一元多项式环,有如下定义和定理:
定义 1 设、是中的两个多项式,如果满足是、的公因式,且、的公因式都是的因式,则称多项式是、的一个最大公因式.
定理 1 对于中的任意两个多项式、,在中存在最大公因式,且可表成、的一个组合,即存在多项式、满足
①
证明:
(1) 假设、有一个为零,不妨设,则可知是一个最大公因式,显然存在多项式,,满足
(2) 假设、全不为零,利用带余除法.
用除,得到商,余式,此时:若,可得,即是一个最大公因式,可求得多项式,,满足①式;
若,就用除,余式,若,可得,即是一个最大公因式,可求得多项式,,满足①式;
若,就用除,得到商,余式,
以此类推,所得余式的次数不断降低,即

但的次数有限,因此在辗转相除有限次后,必有一余式为零,
于是可得:




由(1)可知是、的一个最大公因式.
下证存在多项式、满足①式,
事实上,变形上面倒数第二式有,同理可解得
、将解得余式代入上面的运算式,并逐个消去,即可得定理1的①式.
证毕.
2、主要方法及证明
由定义1可知,若、是、的两个最大公因式,则必有,,而又由整除的性质可得:,:两个不全为零的多项式的所有最大公因式均只相差一个非零常数倍,那么,根据此性质,首项系数为1的那个最大公因式是唯一确定的,且记为.
现约定下文所提及的最大公因式均指首项系数为1的那个最大公因式.

由定理1的证明可以很容易得到求最大公因式的一种有效方法————辗转相除法.
例1 在有理数域上,求多项式、的最大公因式,其中表达式分别为
,
事实上,多项式的最大公因式只相差一个非零常数倍,因此在计算过程中可以适当的用某一常数乘以多项式的各项系数,从而化简计算量且不改变最大公因式的值,因此利用辗转相除法:
解:用除得:商,余式,
再用除得:商,余式,
再用除得:商,余式,
由此可得:是、的一个最大公因式,
即:.
多项式、同上面的例1,求多项式、使其满足定理1的①式.
解:利用例1的计算过程扩大某一多项式的倍数,此时可计算出多项式、使其满足定理1的①式,且可得如下等式:
⑴
⑵
其中,,,,同例1,
由⑴有: 且代入⑵
得
即
又知,将上式化简可知满足的项式、分别为,
但是,将、代入进行检验得:
所以,此时计算的多项式、并不满足定理1的①式
事实上,在计算过程中若不扩大某一多项式的倍数,经过计算有:
⑶
⑷
由⑶,⑷可得:

化简可知:满