多项式最大公因式最优求法的探讨.docx

多项式最大公因式最优求法的探讨.docx唐山师范学院本科毕业论丈题目 多项式最大公因式最优求法的探讨学 生陈静莎指导教师孙秀娟讲师年 级 2009级专 业数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学糸2013年4月郑重声明本人的毕业论文(设计)、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,(设计)作者(签名):年月FI标题多项式最大公因式最优求法的探讨中文摘要 1引言 11基本概念 '12最大公因式的求法 52・1辗转相除法 82・4等效变换法 102・5矩阵初等变换法 1319223优劣性比较4结束语参考文献 23致谢 2425外文页多项式最大公因式最优求法的探讨陈静莎摘要本文介绍了多项式最大公因式的几种常规求法,如辗转相除法、因式分解法、多项式组合法、矩阵初等变换法、等效变换法等,对这些方法进行了详细的证明,由这些方法得出了求最大公因式的一些性质,通过讨论,,本文通过具体实例对最大公因式的各种求法的优劣性进行了比较,,也是高等代数的的重要纽•成部分,它在数学的理论与应用中都有十分重要的意义,,在各种高等教材中己经做了许多基本方法的介绍,但在我们的实际应用中,这些基本方法存在运算过程复杂,,探讨求最大公因式快速、准确、,是一个一•、因式分解法和纽•合法,,,、基本概念设P是一个数域,P[x]为数域P上的一元多项式环,有如下定义和定理:定义1设/(兀)、g⑴是卩[兀]中的两个多项式,如果满足〃(兀)是/(x).gd)的公因式,且/⑴、g(x)的公因式都是d(x)的因式,则称多项式d⑴是念)、g(x)[x]中的任意两个多项式/(切、gU),在P[x]中存在最大公因式d\x),且d\x)可表成f(x)xg(x)的一个组合,即存在多项式u(x)sv(x)满足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) ①证明:假设f(x).gd)有一个为零,不妨设g(JC)=O,则可知念)是一个最大公因式,显然存在多项式i心)=1,咻)=1,满足/(x)=b/(x)+l-0假设/(兀)、g(Q全不为零,(x)除/(x),得到商创⑴,余式/;(%),此时:若/!(x)=0,可得g(x)/(x),即g(x)是一个最大公因式,可求得多项式w(x)=1,v(x)=1-^((%),满足①式;若斤0)工0,就用斤(X)除g(x),余式D(x),若7\(X)=O,可得斤(x)|gd),即斤(X)是一个最大公因式,可求得多项式”(兀)=1,p(x)=-^U),满足①式;若厂⑴北0,就用込(兀)除斤(X),得到商偽(兀),余式$(x),以此类推,所得余式的次数不断降低,即8(g(x))>a(/i(x))>Q(以兀))> 但g(x)的次数有限,因此在辗转相除有限次后,必有一余式为零,于是可得:f(x)=g(x)qi(x)+ri(x)g(x)=q2(x)/](x)+r2(x)rt_2(x)=(x)q{(x)+rs(x)匚2(朗=JOO仏(x)+/(x)hO)=/Q)q$+Q)+°山(1)可知c(x)是/(兀)、g(x)"(X)、满足①式,事实上,变形上而倒数第二式有/;(x)=(x)-(x)qs(x),同理町解得,;T(X)、72(朗……将解得余式代入上面的运算式,并逐个消去,即可得定理1的①、主要方法及证明山定义1可知,若«(朗、4(无)是/(X)xg。)的两个最大公因式,则必有弘⑴血⑴,〃2(x)|£(x),而又山整除的性质可得:d2(x)=cd.(x),:两个不全为零的多项式的所有最大公因式均只相差一个非零常数倍,那么,根据此性质,首项系数为I的那个最大公因式是唯一确定的,且记为(/(x),g