泰勒公式例题.doc

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,[1]x存在阶导数,定义则有若函数在fn0'''(x)ff)(x200?L?x)x)?(xf(x)?(x)?(x?f0001!2!(n)(x)fnn0)x)?o((x?(x?x)?00!n(1)n))?xo((x为佩亚诺型余项,这里称(1)'''(n)(00)(0)ff)(fnn2x,)式变成时,(当1=0)x?o(??x?x??xf(x)?f(0)01!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.[2]x某邻域内为存在直至阶的连续导数在,则若函数定义f1n?0''(n)(xf)(x)f2n'00)(xx)?R?x)?...?(x??xff(x)?(x)?f()(x?x)(x,n00000!2!n(n?1)?)f(n?1?R(x(x?x))?)xR(xx为拉格朗日余项,在这里与2(其中)n0n0(n?1)!x的泰勒公式.)为,称(2在之间f0''(n)(0)(0)ffn'2?(0)x(0))?f?)R...x??x?(xfxf(x式变成(时当=0,2)0n!n2!.麦克劳林公式)带有拉格朗日余项的(称此式为常见函数的展开式:?x2nexxn??????e?1?)!1(n?2!n!2n?135xxx2nn?2.)x?o(?x?x????(?1)sin3!5!(2n?1)!2n246xxxx2nn)(x(?1)?ocosx?1????L?.2!4!6!(2n)!n?123xxxn?n1.)(x1???(?)?oln(1?x)?x??23n?112nn)x?o?x(???x?1?x1?xm(m?1)2m.???x(1?x)?1?mx2设函数在闭区间上连续定理,且,若f)f(bf[a,b](a)??x,使得则至少存在一点为介于与之间的任何实数,)b))f(b?(a,f(a00?.?(fx)003泰勒公式的应用利用泰勒公式求极限12x44)?(xx?O?1?ecosx212.??lim?lim4412xx0x?x?0xxex-sin-1--xcosx0→x0xesinx,这时可将和若用罗比达法求解,则很麻烦,分析:此为型极限,xcos0分别用泰勒展开式代替,:=sinx-1-x-))(+(x-+++o(o)-1-x-1+x26226343xxx33xx,=)+o(()=++o661223xx33xx))+o-)x(1-xsinx-xcosx=-(+o(623x3x)=(+o3于是3xx3xxe)(+ox-sin-1-x162lim==3xxcossinx-x20→x3x)(o+3例利用泰勒展开式再求极限。解:,【注解】现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为,从而当时,,应为利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,,例x?x?sinx0?x613x?0,则证明取,x?x?xf()?sinx06'''''''''(0)??cosxf0,(0)?f,(x)?f(0)?0,f(0)?0,带入泰勒公式,其中=3,得n?x?cos13?.,其中x??00?0f(x)?10??3!故13.,当时xx?xsin?0?x6利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,∞+3例∫的收敛性。(x+1+判断广义积分x-1-2x)dx511+1--(-+1x-12x=2),+解:1x+xxx11展开:,+1利用泰勒公式将1-xx1111(-1)(-1)1111112222),(++o1-=1+++=1-o(),1+2222x!xx2xxx2x2!2x1111(-1)(-1)1111112222x+1+x-1-2x=x{1+++o()+1-++o()-2}22222x2!xx2x2!xx11|x+1+x-1-2x|=+o(因此lim),1=-133∞+x→|-|x4x2234x21∞++∞收敛,所以由于∫(x+1+x-1-2∫的收敛x)dx553x