泰勒公式例题.doc

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泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多函数的幂级数展开式
利用根本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
求的幂级数展开式.
解 利用泰勒公式
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利用泰勒公式进展近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
,
其误差是余项.
,
解 先写出f(*)=Ln(1+*)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
,
其中〔在0与*之间〕.
令,要使
则取即可.
因此
当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
求的近似值,准确到.
解 因为中的被积函数是不可积的〔即不能用初级函数表达〕,现用泰勒公式的方法求的近似值.
在的展开式中以代替 *得
逐项积分,得
上式右端为一个收敛的交织级数,由其余项的估计式知
利用泰勒公式求高阶导数在*些点的数值
如果f(*)泰勒公式,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
求函数在*=1处的高阶导数.
解 设*=u+1,则
,,
在u=0的泰勒公式为
,
从而
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,
而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的展开式知的项为,因此
,
.
利用泰勒公式求行列式的值
假设一个行列式可看做*的函数〔一般是*的n次多项式〕,记作f(*),按泰勒公式在*处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 求n阶行列式
D= 〔1〕
解 记,按泰勒公式在z处展开：
, 〔2〕
易知
〔3〕
由〔3〕得,.
根据行列式求导的规则,有
于是在处的各阶导数为
,
,
…………
把以上各导数代入〔2〕式中,有
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假设,有,
假设,有.
总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比拟好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比拟 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比拟；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比拟 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质〔30分钟〕，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的根底上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法〔20分钟〕。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧〔25分钟〕，课堂练习〔15分钟〕。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大

前面我们研究了数列的极限、〔、〕函数的极限、〔、〕函数的极限这七种趋近方式。下面我们用
＊表示上述七种的*一种趋近方式，即
＊
定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小
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，即。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
， ，
所以当时为无穷小，当 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，
则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。
小结：无