泰勒公式例题.pdf

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f '' (0) f (n) (0)
当 x =0 时,（2）式变成 f (x)  f (0)  f ' (0)x  x2 ...  xn  R (x)
0 2! n! n
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

2泰勒公式及无穷小变换的应用
常见函数的展开式：
x 2 x n ex
e x 1 x    x n1 .
2! n! (n 1)!
x3 x5 x2n1
sin x  x    (1)n  o(x2n2 ) .
3! 5! (2n 1)!
x2 x4 x6 x2n
cos x 1     (1) n  o( x2n ) .
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn1
ln(1 x)  x    (1)n  o(xn1) .
2 3 n 1
1
 1 x  x2    xn  o(xn )
1 x
m(m 1)
(1 x)m 1 mx  x2  .
2!
定理 [3] (介值定理) 设函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b) ,
若  为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何实数,则至少存在一点 x  (a,b) ,使得
0 0
f (x )   .
0 0
3 泰勒公式的应用
利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数
的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
x2

cos x  e 2
例 求极限lim .
x0 x4
x2
0 
分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos