泰勒公式例题.docx

泰勒公式例题.docx泰勒公式例题
泰勒公式例题
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容 , 它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数 , 这种化繁为简的功能 , 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆 . 作者通过阅读大量的参考文献 , 从中搜集了大量的习题 , 通过认真演
算 , 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献 , 并对这些应用方法做了系统的归纳和总结 . 由于本文的主要内容是介绍应用 , 所以 , 本文会以大量的例题进行讲解说明 .
２ 预备知识
定义 [1]
假设函数 f 在 x0 存在 n 阶导数 , 那么有
f ( x) f ( x0 )
f ' ( x0 ) ( xx0 )
f '' ( x0 ) (xx0 ) 2 L
1!
2!
( n )
f ( x0 ) n n
(x x0 ) o(( x x0 ) )
1〕
这里 o(( x
x0 ) n ) 为佩亚诺型余项 , 称 (1)f
在点 x0 的泰勒公式 .
当 x0
=0 时 ,〔1〕式变成 f ( x) f (0)
f ' (0) x
f '' (0) x 2
f (n ) (0) x n
o( xn ) ,
1!
2!
n!
称此式为 ( 带有佩亚诺余项的 ) 麦克劳林公式 .
定义[2]
假设函数
f 在
x0 某邻域内为存在直至
n 1 阶的连续导数 , 那么
f ( x) f ( x0 )
f ' (x0 )( x
x0 )
f '' ( x0 ) ( xx0 )2
...
f ( n) ( x0 ) ( xx0 ) n
Rn (x) ,
2!
n!
〔2〕这里 Rn (x) 为拉格朗日余项 Rn ( x)
f ( n
1) ( ) ( x x0 ) n 1 , 其中 在 x 与 x0
(n
1)!
之间 , 称〔 2〕为 f 在 x0 的泰勒公式 .
当 x0 =0 时,〔 2〕式变成 f ( x) f (0) f ' (0) x
f '' (0) x2
...
f (n ) (0) xn
Rn ( x)
2!
n!
泰勒公式例题
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泰勒公式例题
称此式为 ( 带有拉格朗日余项的 ) 麦克劳林公式 .
泰勒公式例题
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常见函数的展开式：
ex
1 x
x 2
xn
e x
xn 1 .
2!
n!
(n
1)!
sin x
x
x3
x5
(
1)n
x2 n 1
o( x2 n
2 ) .
3!
5!
(2 n
1)!
cos x
x2
x4
x6
L
n
x2n
2 n
) .
1
4!
6!
( 1)
o( x
2!
(2n)!
ln(1
x)
x
x2
x3
(
1)n
xn
1
o( xn 1 ) .
2
3
n
1
1
1
1 x x2
xn
o( xn )
x
(1
x)
m
mx
m(m
1)
2
.
1
2!
x
定理 [3] ( 介值定理 )
设函数
f 在闭区间
[ a, b] 上连续 ,
且 f (a)
f (b) , 假设
0 为介于
f (a) 与 f (b) 之间的任何实数 , 那么至少存在一点 x0
(a,b) , 使得