泰勒公式例题.docx

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泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
泰勒公式及其应用
1引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示 为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问 = ~6 + o( x 3),
x 3 x 2
sin x — x cos x = x — + o(x 3) — x(1— + o(x 3))
6 2
x 3
=可 + O( x 3)
于是
lim
x~ 0
x — sin x
2
sin x — x cos x
x 3
T+o( x 3)
x 3

to-sin r
lim—
XTd X
解:
该工一 sin工-[r+ - 宀口 (/)]—[—少
d 十丄x3)+(o(r3)-o(x3))
6
3 6
—(工—兀)十(一x
15
1 3—= lim^ + lim^=l
亡 r x3 x3 2
3
丄 ・ —X ~H U
一 to: - sin r 「 ■?
lim——— = lim ・
斤就1 x 宀D
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为fgx^x^sinx （工—0），从而 lim^-^ = limX-x=limQ = Q
■ttD x XT。工‘ 片 tD
f - _n ^x-sinx = -r3 + o
当兀—0时，塩工_別口工工兀一艾二°,应为 昌 2

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.
>0时，证明sinx>x-6x3・
证明 取 f (x) = sin x一x + x3, x = 0，贝U
6 0
f (0)二 0, f'(0)二 0, f''(0)二 0, f'”(x)二 1 — cos x, f'”(0) > 0.
带入泰勒公式，其中n =3,得
f (x) = ° + ° + ° + Tx3，其中 0 <9< 1
当 x > 0 时，sinx> x一1 x3・
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒 公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3判断广义积分八8 d+1 ^x~1 -2 JX）dx的收敛性。
5
解: 骨'x +1 +x -1 - 2叮x 二+ — + ,'1 - — - 2）,
1 -丄+ 4丄+ o（丄）,
2 x 2! x2 x 2
11
+ 0（丄）+1 -丄 + 4 x 2 2 x 2!
11
-+。（丄）-2}
x2 x 2
=-丄+ o（丄），因此lim心市U和-加丁1 = 1
4 x 2 x 3 x … I-丄 |
3
4 x 2
由于j+8」一收敛，所以J+8 （x +1 +、；'x-1 -2 *x）dx的收敛
5 3 5
例
1
讨论级数£ （p
n
n=1
in n±1
n
）的敛散性.
4 x 2
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因
而也就无法恰当选择判敛方法，注意到in出 =ln（1+丄），若将其泰勒展开为1的 n n n
幂的形式，开二次方后恰与
1
<n
相呼应，会使判敛容易进行
解 因为
,n +1
In
n
故该级数是正向级数.
ln 出 > 0
n
1
u == n n
又因为
1 1
+ _ 2n2 3n3
+oG)>
1 1
— +
n 2 4n 3
1
•Jn
1
3
2n 2
所以
=ln(l+丄)=—— + ——
n n 2n2 3n3 4n4
所以
所以
_ 1
=貞
ln n+1 <丄-(丄-丄)_丄
n 3 ⑴ 2n 3 2n 2
因为£ 收敛，所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
3
n _1 2n 2
利用泰勒公式证明根的唯一存在性
设 f(x)在［a, +8)上二阶 可导，且 f (a) > 0, f'(a) < 0 ,对
x e (a, +8),f" < 0 , 证明： f (x) _ 0 在(a, +8)内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数，直接讨论f (x) _ 0的根有困难，由题设f(x)在 [a, +8)上二阶可导且f (a) > 0, f'(a) < 0，可考虑将f(x)在a