曲线积分的计算法.doc

曲线积分的计算法基本方法1.)第一类(对弧长?曲线积分定积分?转化?)第二类(对坐标用参数方程(1)用直角坐标方程选择积分变量用极坐标方程第一类:下小上大(2)确定积分上下限第二类:下始上终对弧长曲线积分的计算定理,在曲线弧L上有定义且连续设f(x,y)?),(tx????其中?L的参数方程为()?t??),(y?t?????且在[上具有一阶连续导数,,(t),](t)?22????????dt((t)])?dsf(x,y)?tf[),(t)(t?L??)?(:注意??;定积分的下限一定要小于上限1..不彼此独立,而是相互有关的,xy)中x,(特殊情形?.x?b(x)aL(1):y??b2?????.dx(,(x)]1?x))(fx,yds?f[xLa?.dy?y()c?)(2L:x?d2?????.dy1yy?),(fxydsf[(),]?y()cL1例,costx?a??).第求I??xyds,L:椭圆象限(?,bsinty?L??解22?dtcost(?asint))??I(bacost?bsint20?2222?dtsincostta?bt?absintcos20aba2?duu?2222)t?bsintcos(令u?a22ba?b22)?ab(ab?ab.?)?ba3(2xy4??,求I?yds2例L2.)一段到(1,?2,?4x,其中L:y从(12)y2.?02?dy)1?I?(y解22?3例???,sin,y?cosxyzds,其中?:x?aa求I?????)??2z?k0的一段.(?2解?222?I????dsin??kkaacos01222?.a??kka?22?dsx?求I,4例?2222?,y??zax?为圆周其中??x?y?z?0.?222???由对称性解,?zdsx?y???1222?ds(z?y?故Ix?)3?32?a2a?ds?.???),?球面大圆周长(2dsa33??对坐标的曲线积分的计算上有定义且连在曲线弧L,y)x,y),Q(x设P(?),(x?t??变单调地由的参数方程为当参数t续,L??),ty?(??,B沿L运动到终点y)从L的起点到A时,点M(x,????一阶连及),为端点的闭区间上具有(t)在以(t22????则曲线积分,)?续导数,且0(t(t)??,存在)dyQ(x,y)P(x,ydx?L?dy),ydx?Q(且xP(x,y)L??????????dt)]t[)}(t),?{P[((t),((t)]t)(t?Q?特殊情形.,终点为b)x起点为a)L:y?y(x(1b???.)}dx(xx,y(x)]yQdy?{P[x,y(x)]?Q则[Pdx?,终点为?xx(y)y(2)L:d???.dyy]}[x(y),y),y]x(y)?Q则Pdx?Qdy?x{P[(cL,t)(t?sinx?a?其中L为摆线,yy(2a?)dx?xd5计算例L)cost(1???2t从0到上对应:提示tdt?cos)t?cos)?a(1(ddsintt?sin)?atdta(2?y)x?xy?a1(?a2tdtsin?atπ22?ttsinta?原式?d02π2??tcost?sina?t?02a??2π??y=z其中截球面由平面,zdzxy6例?计算222,x1?y?z所得?