柯西-西瓦兹不等式的推广与应用毕业论文.doc

柯西-西瓦兹不等式的推广与应用毕业论文1、柯西--西瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有()其中当且仅当(为常数)等号成立。柯西-西瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用,现在我们通过它的三种证明方法,来加深对其的理解。证法一:我们利用一元二次函数的知识来证明证明:设,则由于,因此上述不等式的判别式,则即证法二:利用一元二次不等式的知识来证明证明:平方和绝不可能是负数,故对每一个实数都有其中,等号当且仅当每一项都等于0时成立,该不等式可以变形为,其中,如果,不等式显然成立如果,因为恒成立,所以成立即等号当且仅当(为常数)成立。证法三:利用向量的知识来证明证明:设是两个维向量,则由于因此,即当时等号成立,即或时,--西瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广在()中,令,则()()令则()()()()()-西瓦兹不等式中的幂指数扩充,:对任意的非负数有其中满足且()证明:利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中,当时为柯西-西瓦兹不等式。,则也收敛,且(),则有证明:令其中由平均值不等式得对之作和得所以有:-西瓦兹不等式在实数域中的应用例1-,求证:证明:-,又(常数),求证:.证明:根据柯西-西瓦兹不等式()式可得于是得:例1-3设,若则;解:应用()式,例1-:设若式成立,则有:则而于是:即:由()式知上式成立,所以可得例1-,:由()式可得,则:所以例1-,求的取值围。解:故参数的取值围是2、柯西--西瓦兹不等式在微积分中的定义定义:设,在上可积,则(),或与成正比,:因为,都在上可积,则由定积分的性质均在上可积,对区间进行等分,分点为由定积分的定义,有由式可知再由极限的保号性易知()成立若对,或与成正比,则()式中等号成立,-西瓦兹不等式在微积分中的推广推论1.(明可夫斯基不等式)设,都在上可积,则有明可夫斯基不等式()证明:由()式可知因为两边都大于等于零,且右边大括号也大于等于零,所以有推论2:当存在一组不全为零的使得时等号成立,不等式()可以改写为以下行列式形式()以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广设均在上可积,则有()证明:注意到关于的二次型为非负二次型,:设均在上可积,则有()-西瓦兹不等式在微积分中的应用例2-,且试证:证明:同理有:则例2-,证明:证法一:把不等式中的换成,移项得设则为单调函数,故,所以证法二:,再利用函数的单调性证明,证法二利用柯西-西瓦兹不等式证明,-(1)(2)则有证明:利用(),则有由此得到注意到定义中的条件(1),于是,从而得例2-,,试证:证明:令则,由知因此例2-,且,证明证明:由()式得