柯西-西瓦兹不等式的推广与应用 毕业论文.doc

- 1- 中图分类号: 本科生毕业论文(申请学士学位) 论文题目柯西- 西瓦兹不等式的推广与应用作者姓名所学专业名称数学与应用数学指导教师 2010 年4月 30日-2- 滁州学院本科毕业设计(论文)原创性声明本人郑重声明: 所呈交的设计( 论文) 是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 2010 年 5月 30日柯西-西瓦兹不等式的推广与应用摘要: 柯西- 西瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用,如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西- 西瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式, 同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西- 西瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明,并给出了它的一些推广和应用。关键词: 柯西- 西瓦兹不等式;实数域; 欧氏空间;概率空间 The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz I nequality Abstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild application s in many areas s uch as motion vector in linear -3- algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function , variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different space s with different forms, and has a lot of distortion s and generalization . This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space , probability space, and gives its generalization and application. Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space ; Probability space 1、柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广与应用 柯西- 西瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设??, 1, 2, i i a b R i n ? ??, 则有 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b ? ??? ??????? ?????? ?????? ??( ) 其中当且仅当?? 1, 2 i i b ka i n ? ??(k 为常数) 等号成立。柯西- 西瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用, 现在我们通过它的三种证明方法, 来加深对其的理解。证法一:我们利用一元二次函数的知识来证明-4- 证明:设?? 21 ( ) 0, n i i i f x xa b x R ?? ?????,则 2 2 2 1 1 1 ( ) (2 ) 0 n n n i i i i i i i a x a b x b ? ??? ??? ??由于 x R ??, 因此上述不等式的判别式 0 ??,则 2 2 2 1 1 1 4( ) 4( )( ) 0 n n n i i i i i