二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法.doc

二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法.doc二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家 Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于 Hall定理中充分性证明的思想,它是二部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。这篇文章讲无权二分图(unweightedbipartitegraph)的最大匹配(maximummatching)和完美匹配(perfectmatching),以及用于求解匹配的匈牙利算法( HungarianAlgorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V,使得每一条边都分别连接 U、V中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图1是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2的形式。匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图3、图4中红色的边就是图2的匹配。我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。 例如图3中1、4、5、7为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5>4-7为匹配边,其他边为非匹配边。最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图4是一个最大匹配,它包含4条匹配边。完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图4是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。 基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumentingpath)。例如,图5中的一条增广路如图6所示(图中的匹配点均用红色标出):增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了1条。我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法DFS和BFS版本的代码之前,