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有限区域内的一维瞬态导热——环境101硕孟祥来前言:非稳态导热分为三种周期性导热:温度随时间周期性变化瞬态导热:温度随时间升高或降低非周期性非瞬态导热瞬态导热是非稳态导热的一种。与稳态导热不同,在非稳态导热时,物体内各处的温度随时间而变化,因此,在导热微分方程中,除了空间坐标作为自变量以外,时间坐标也是自变量。非稳态导热微分方程在偏微分方程中属于抛物线型方程(集总热容系统除外)。一维非稳态导热问题表示方法(自变量)--直角坐标系--圆柱坐标系、球坐标系这类问题可以用分离变量法来求得分析解。下面分别加以讨论。直角坐标系中的一维齐次问题一块厚的大平板,初始温度分布为。时间>0时,置于温度为0的环境中进行对流换热,及的边界处的表面传热系数分别为和。平板内的温度是,问题数学描述为(1-1)(1-1a)(1-1b)(1-1c)在式(1-1)的定解条件中,边界条件是齐次的,可以直接用分离变量法求解。设,代入式(1-1)后,得到(a)只能是,若为正,则时,为无穷大,与题意不符合式(a)中等号左边是变量的函数,右边是变量的函数,要使(a)时时、处处成立,式(a)只可能等于某一常数,而且只可能是一负实数(分离常数)。于是由式(a)可以得到两个常微分方程,同时,可以得到的两个边界条件,即(1-2)(1-2a)(1-2b)(1-3)由式(1-2)描述的问题,就是特征值问题,可查表得该问题的特征函数是(b)式中特征值由(c)确定。式中由式(1-3)可得(d)因此,对应于每一个特征值,可得到一个原导热问题的基本解,基本解的线性叠加,就成为原导热问题的完全解,即(1-4)待定常数由初始条件决定,即(e)式(e)中是特征函数的模。把式(b)(d)(e)代入式(1-4)中就得到导热问题的分析解。长圆柱内一维瞬态导热一个半径为的实心长圆柱,初始温度分布为,时置于温度为零度的环境对流换热,表面传热系数为常数,则圆柱体内将发生一维瞬态导热。此问题的数学描述为(2-1)(2-1a)(2-1b)式中。此外,处温度应保持有界。假定该问题有下列分离变量形式的解:(a)把式(a)代入式(2-1),经整理后得到两个常微分方程:(2-2)有界(2-2a)(2-2b)(2-3)式(2-2)所示的特征值问题,查表得特征函数、特征值及特征函数的模分别为式中而微分方程(2-3)的解为所以温度场的完全解是基本解的线性叠加,即(2-4)式(2-4)必须满足初始条件,就是说由特征函数的正交性,得到(2-5)把式(2-5)代入式(2-4),就得到长圆柱内瞬态温度场的解。球体内一维瞬态导热设有半径为的实心球体,初始温度分布仅与有关,时间时置于温度为零的环境中换热,的边界的表面传热系数为常数。该问题的数学描述为(3-1)有界(3-1a)(3-1b)(3-1c)采用新的因变量,式(3-1)及边值条件可变换为(3-2)(3-2a)(3-2b)(3-2c)式中:。由式(3-2)可见,当采用新的因变量以后,其数学描述与直角坐标系中大平板的瞬态导热相似,不过的边界条件有了一些变化,但的齐次边界条件仍演变为的齐次边界条件。因变量的求解方法与大平板中的求解方法相同,解出后,可由求出瞬态温度场。PS:微分方程为的解例题【例】如图所示大平板,厚,初始温度ti均匀分布,时