离散傅里叶变换.ppt

第3章离散傅里叶变换((DFT傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列,还有一种更为重要的数学变换,即木章要讨论的离散傅里叶变换(DiscretefourierTransform,DFT)。DFT之所以更为重要,是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散样,从而实现了频域离散化,使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行,这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是,DH有多种快速算法,统称为快速傅里叶变换(FastFouriertransform,FFT),从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。第3章离散傅里叶变换(DFT因此,时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说,DFT不仅在理论上有重要意义,而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和DFT的应用举例等内容第3章离散傅里叶变换((n)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)=DFx(m-=∑x(n)Wk=0,…N-1()第3章离散傅里叶变换(DFIX(k)的离散傅里叶逆变换(nverseDiscreteFourierTransform,IDFT)为x(n)=DF7X(k)=∑X(Wn=0,…,N()N式中,W,=eN,N称为DHI变换区间长度,NM通常称()式和()式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁,常常用DFTx(m和IFT[X(k分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFI[X(k]的唯一性。第3章离散傅里叶变换(DFI把()式代入()式,有IDFTX(k=∑∑x(m)W1Wxk=0m=0k=0由于Wmj①,m=n+N;为整数N-10,m≠n+N,i为整数第3章离散傅里叶变换(DFI所以,在变换区间上满足下式DFTIX(k)]入=x(n)0≤N1由此可见,()式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。【例311】x(n)=R(m),求x(m)的4点和8点DFT。解设变换区间N=4,则X(k)=>x(n)v2(4k=00k=(DFI设变换区间N=8,则X(k)=∑x(m)Wn=0n=0kk=0,1…,7sinl=k8由此例可见,x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后,上述问题就会得到解释。第3章离散傅里叶变换((m)的长度为M,其Z变换和NNMD点DFI分别为X(x)=ZIx(n)=∑x(m)zX(k)=DFTLx(n)I=2x(n)Wlk比较上面二式可得关系式X(k)=X(x)x,k=0,…,N()或X(=X(e2丌,k=0,,…,N-)第3章离散傅里叶变换(DFT()式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。()式则说明X(k)为x(m)的傅里叶变换X(e)在区间[0,2r上的N点等间隔采样。这就是DF的物理意义。由此可见,DFI的变换区间长度N不同,表示对Xe)在区间[0,2元上的采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果不同。上例中,x(n)=R4(n),DF变换区间长度N分别取8、16时,X(p)和X(k)。由此容易得到x(m)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT[x(n)12=46(k),这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。