1 第一章热力学的基本规律 试求理想气体的体胀系数?, 压强系数?和等温压缩系数??。解:已知理想气体的物态方程为, pV nRT ?(1) 由此易得 1 1 , p V nR V T pV T ??? ?? ??? ??? ?(2) 1 1 , V p nR p T pV T ??? ?? ??? ??? ?(3) 2 1 1 1 . TT V nRT V p V p p ?? ? ???? ??? ????? ? ??? ??? ?? ? ??(4) 证明任何一种具有两个独立参量, T p 的物质, 其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??,根据下述积分求得: ?? ln T V = αdTκdp ??如果 1 1 , T T p ? ?? ?,试求物态方程。解:以, T p 为自变量,物质的物态方程为??, , V V T p ?其全微分为. pT V V dV dT dp T p ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(1) 全式除以 V ,有 1 1 . pT dV V V dT dp V V T V p ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?根据体胀系数?和等温压缩系数 T?的定义,可将上式改写为. TdV dT dp V ? ?? ?(2) 2 上式是以, T p 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有?? ln . T V dT dp ? ?? ??(3) 若 1 1 , T T p ? ?? ?,式( 3 )可表为 1 1 ln . V dT dp T p ? ?? ?? ?? ??(4) 选择图示的积分路线,从 0 0 ( , ) T p 积分到?? 0, T p , 再积分到(, T p ), 相应地体积由 0V 最终变到 V ,有 0 0 0 ln =ln ln , V T p V T p ?即 0 0 0 p V pVC T T ? ?(常量), 或. pV CT ?(5) 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数 T?数值都很小,在一定温度范围内可以把?和 T?看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为???? 0 0 0 ( , ) , 0 1 . T V T p V T T T p ? ?? ???? ?? ?解:以, T p 为状态参量,物质的物态方程为 3 ??, . V V T p ?根据习题 式( 2) ,有. TdV dT dp V ? ?? ?(1) 将上式沿习题 图所示的路线求线积分,在?和 T?可以看作常量的情形下, 有???? 0 0 0 ln , TV T T p p V ? ?? ???(2) 或???????? 0 0 0 0 , , . T T T p p V T p V T p e ? ?? ???(3) 考虑到?和 T?的数值很小,将指数函数展开,准确到?和 T?的线性项,有???????? 0 0 0 0 , , 1 . T V T p V T p T T p p ? ?? ????? ?? ?(4) 如果取 00p?,即有?????? 0
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