浅述二重积分的计算方法.doc

成绩:学年论文题目:浅述二重积分的计算方法学院:数学与计算机科学学院专业:信息与计算科学班级:10信计1班学号:姓名:徐小萌指导教师:过静2013年1月7日目录摘要……………………………………………………………………………………………….31引言………………………………………………………………………………………………42二重积分的计算……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………….........................................…………………………………………………………………………………..…………………………………………………………..................................73二重积分的应用……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......………………………………………………………………………....………………………………………………………………………....9结束语………………………………………………………………………………………………9致谢………………………………………………………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………………………………:本文介绍了几种二重积分的计算方法,着重从累次积分的计算,变量代换等方法阐述二重积分的计算,同时研究了二重积分的应用,并通过实例加以说明。关键词:二重积分积分区域换元法极坐标引言二重积分是定积分的推广:被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y):积分范围由数轴上的区域推广为平面区域(二重积分)。我个人在学习中就二重积分计算感到比较繁琐,而日常生活中二重积分又有很多应用。通过查阅资料和老师的指点,我认为重积分的计算方法还是有规可循的,我总结了几种方法供大家参考。二重积分的计算一般二重积分计算需要决定积分区域,再决定积分次序。这就是我们要研究的累次积分计算法。:一是先积y后积x的累次积分,即:若f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积,且对每个[a,b]积分dy存在,则累次积分dy也存在,且:=dy二是先积x后积y的累次积分,即:若f(x,y)在矩形区域D=[a,b][c,d]上可积,且对每个y[c,d],积分存在,则累次积分也存在,且:=特别当f(x,y)在矩形区域D=[a,b][c,d]上连续时,则有:==例1计算d,其中D是由x=0,y=1及y=x围成的区域。解:(1)由题意知交点坐标分别为A(0,0)B(0,1)C(1,1)(2)画出积分区域D的图形,D:(3)此题可化为先积x后积y的累次积分,即:d====需要注意的是累次积分要选择适当的积分次序,积分次序的选择不同直接影响计算的繁琐,甚至计算不出结果来。要尽量将积分区域少分块,以简化运算过程;第一次积分的上、下限表达要简单。例2计算,D是由直线y=2x,x=2y,x+y=3所围成的三角区域解:(1)由题意知交点坐标分别为A(2,1)B(0,0)C(3,0)D(1,2)(2)画出积分区域D的图形,D:(3)把区域D划分成D和D且先积y后积x的累次积分,即:=+=+=+=2,、2几何意义计算法积分区域有时是特殊面,如圆柱面、球面、椭球面等我们可以利用他们所表示的几何意义来计算。例3求两个底面半径相同的直角圆柱所围立体的体积V解:设圆柱底面半径为a则两援助方程为:z=V==D:圆xV=dy=例4计算I=,D:y=2px,x=(p>0)(1)由题意可知交点坐标分别为A(),B(),C(0,0)(2)画出区域D的图形,D:(3)可化为x-型区域,则化为先x后y的累次积分,即:I==dy=。适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。下面以定理给出。定理:设f(x,y)在有界闭区域D上可积,变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面按段光滑封闭曲线所围成的闭区域D一一地应成xy平面上的闭区域D,且满足:函数x=x(u,v),y=y(u,v)在D内分别具有一阶连续偏导数在D上有雅可比行列式J=则=例5求,其中D是由x=0,y=0,x+y=1所围成的区域解:令u