浅述二重积分的计算方法.doc

成绩：
学 年 论 文
题 目：
浅述二重积分的计算方法
学 院：
数学与计算机科学学院
专 业：
信息与计算科学
班 级：
10信计1班
学 号：
20102230
姓 名:
徐小萌
指导教师：
过静
2013
年
1
月
7
日
目 录
摘 要……………………………………………………………………………………………….3
1 引言………………………………………………………………………………………………4
2 二重积分的计算…………………………………………………………………………………4
………………………………………………………………………….。5
…………………………………………………。.。..。.....。。.。。...。。....。.。。....。.。..。..6
2。3换元计算法…………………………………………………………………………………。。7
…………………………………………………………。......。.。。..。.。。..。...。。。。。。...。。7
3 二重积分的应用…………………………………………………………………………………8
……………………………………………………………………。。.....9
………………………………………………………………………。。.。9
3。3求平面薄片的质量………………………………………………………………………。。。.9
结束语………………………………………………………………………………………………9
致谢………………………………………………………………………………………………10
参考文献…………………………………………………………………………………………10。

浅述二重积分的计算方法
江西科技师范大学 徐小萌
摘 要： 本文介绍了几种二重积分的计算方法,着重从累次积分的计算,变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时研究了二重积分的应用,并通过实例加以说明.
关键词：二重积分 积分区域 换元法 极坐标
引言
二重积分是定积分的推广：被积函数由一元函数f(x）推广为二元函数f（x,y）：积分范围由数轴上的区域推广为平面区域（二重积分)。我个人在学习中就二重积分计算感到比较繁琐，而日常生活中二重积分又有很多应用。通过查阅资料和老师的指点，我认为重积分的计算方法还是有规可循的，我总结了几种方法供大家参考。
二重积分的计算
一般二重积分计算需要决定积分区域，再决定积分次序。这就是我们要研究的累次积分计算法。
2。1化累次积分计算法
二次积分在直角坐标系下可分为两种不同次序积分:
一是先积y后积x的累次积分，即：若f(x，y）在矩形区域D=［a ，b］＊[c，d］上可积，且对每个［a，b]积分dy存在，则累次积分dy也存在，且:=dy
二是先积x后积y的累次积分，即：若f（x，y）在矩形区域D=[a ，b］［c,d］上可积，且对每个y[c，d］，积分存在，则累次积分也存在，且:=
特别当f（x，y）在矩形区域D=［a ，b] ［c，d］上连续时，则有：
==
例 1 计算d，其中D是由x=0,y=1及y=x围成的区域。
解：（1）由题意知交点坐标分别为A（0，0）B（0，1）C（1，1)
（2）画出积分区域D的图形,D：
（3）此题可化为先积x后积y的累次积分，即：
d====
需要注意的是累次积分要选择适当的积分次序,积分次序的选择不同直接影响计算的繁琐，甚至计算不出结果来。要尽量将积分区域少分块,以简化运算过程；第一次积分的上、下限表达要简单。
例 2计算，D是由直线y=2x，x=2y，x+y=3所围成的三角区域
解:（1）由题意知交点坐标分别为A(2，1）B（0,0)C(3，0）D（1,2）
(2)画出积分区域D的图形，D：
(3)把区域D划分成D和D且先积y后积x的累次积分,即：
=+=+=+=
2,、2几何意义计算法
积分区域有时是特殊面,如圆柱面、球面、椭球面等我们可以利用他们所表示的几何意义来计算.
例