勾股弦数.docx

勾股弦数李明亮(河北省平乡县大刘庄学校,河北邢台054500)摘要:勾股弦数是指这样的三个正整数(分别称为勾数、股数、弦数):勾数与股数的平方和等于弦数的平方。每一组勾股弦数都和 3、4、5这三个数有关;任意给定一个不小于3的勾数或股数,都可以求出一组勾股弦数;但是,只有4k+1形的质数和它们的倍数才可以做弦数。关键词:勾股弦数;通项公式;质数;平方勾股弦数是指这样的三个正整数:两个较小数的平方和等于第三个数的平方。也就是说,如果三条线段的长度正好分别等于这三个数,则用这三条线段可以围成直角三角形。3、4、5是最简单的一组勾股弦数。在一组勾股弦数中,从小到大依次称为勾数、股数、弦数。勾股弦数的通项公式如下:a=k(m2-n2),b=2kmn,c=k(m2+n2)(k、m、n均为正整数,且m>n)例如,k=1,m=3,n=1时,可得到一组勾股弦数6、8、10;k=2,m=2,n=1时,也可得到6、8、10;k=1,m=3,n=2时,可得勾股弦数5、12、13;k=1,m=4,n=1时,可得勾股弦数8、15、17……下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。一、 在一组勾股弦数中,当弦数是奇数时,勾数和股数一定是一奇一偶;当弦数是偶数时,勾数和股数一定都是偶数。因为奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数,所以当弦数是奇数时,勾数和股数一定是一奇一偶。但是,当弦数是偶数时,勾数和股数为什么一定是两个偶数,而不能是两个奇数呢?这是因为,奇数的平方的末两位数只能是 01、21、41、61、81、09、29、49、69、89或25这十一个数,而偶数的平方的末两位数只能是 04、24、44、64、84、16、36、56、76、96或00这十一个数。这十一个奇数中的任何两个相加,其结果的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。也就是说,两个奇数的平方和不可能是完全平方数。如果在一组勾股弦数中,勾数和股数都是偶数,那么,把这组勾股弦数都除以2或者连续除以2,最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。二、 在一组勾股弦数的勾数和股数中,至少有一个是 3的倍数。此命题的证明如下:我们把m和n都分成三种情况来讨论:m=3m1或3m1±1,n=3n1或3n1±1(m1和n1均为正整数)。(1)当m=3mi时,b=2kmn=6kmin,此时,不论k和n是什么数,b都是3的倍数。当n=3ni时,b=2kmn=6kmn i,此时,不论k和m是什么数,b都是3的倍数。当m=3mi±i,n=3ni±i时,a=k(m2-n2)=km2-kn2=k(3mi±i)2-k(3ni±i)2=k(9mi2±6mi+i)-k(9ni2±6ni+i)=3k(3mi2±2mi)-3k(3ni2±2ni)其中的每一项都是3的倍数,所以,此时的a一定是3的倍数。这就证明了,不论m、n是怎样的正整数,a和b之中都至少有一个是3的倍数三、 在一组勾股弦数的勾数和股数中,一定有一个是4的倍数。这是因为,当m和n之中有一个偶数或都是偶数时,b=2kmn是4的倍数;当m和n都是奇数时,a=k(m2-n2)是4的倍数。四、 在一组勾股弦数中,至少有一个是5的倍数。此结论的证明如下:我们把m和n都分成五种情况来讨论:m=5m1或5m1±1或5m1±2,n=5n1或5n1±1或