“正弦定理和余弦定理”的教学反思.doc

“正弦定理和余弦定理”的教学反思“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容。本节在有关三角形、三角函数和解直角三角形知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中边角之间的数量关系。本节教学内容与前后知识联系紧密,涉及多种数学思想方法,现总结如下。一、解三角形与判定三角形全等之间的关系解三角形讨论的是三角形中的各种几何量之间的关系,如边、角、面积、外接圆半径和内切圆半径等之间的关系,而正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具。平面几何主要是从定性的角度研究三角形,解三角形主要是从定量的角度研究三角形中的各种几何量之间的关系,是用解析的方法研究三角形。两种研究角度不同,可以互补,相得益彰。判定三角形全等的公理有:边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)。其中至少有一个元素是边,仅有三个角(AAA)对应相等的两个三角形相似但不全等。判定三角形全等条件的几何意义是三角形的其它变量可以用所给的一组变量表达。如,SSS公理判定三角形全等的几何意义是:△ABC三边的长可以唯一地确定它的三个内角,如已知△ABC的三边,可用余弦定理的推论,求得三角。SAS公理判定三角形全等的几何意义是:△ABC的两条边的长及其夹角唯一地确定了第三边的长,进而唯一地确定了它的其余两条边长。如已知△ABC的两边及其夹角C,可以用余弦定理求出第三边。这时,三边已知,可用余弦定理的推论求出其余两角。这正是余弦定理可以解决的两类问题:已知三边,求三角(SSS);已知两边及其夹角,求第三边和其余两角(SAS)。角边角(ASA)公理和角角边公理(AAS)借助三角形内角和定理,可以认为是实质相同的,其几何意义是△ABC的两角和任一边可以唯一确定其余的角和边,如已知△ABC的两角A,B和夹边c,可以求出这是正弦定理所能解决的一类问题:已知两角和任一边,求其余的边和角(ASA,AAS)。正弦定理还能解决一类问题:已知两边和其中一边的对角,求第三边和其余两角(SSA)。从几何意义上讲,SSA不能判定三角形全等,也就不能唯一确定一个三角形,表现在用正弦定理解三角形时会出现两解、一解和无解的情况。从正弦定理和余弦定理的角度看,判定三角形全等的边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)是相互等价的。由上可见,研读教材时,要从整体和全局的高度把握教材,了解教材的结构、地位作用和相互联系,使之相互诠释补充,产生新的见解。教学中,剖析透彻三角形全等的判定公理与解三角形之间的关系,可以完善学生的认知结构,将初中知识升华。二、数学思想方法数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分,有利于加深学生对数学知识的理解和掌握,提高学生解决数学问题的能力。本节的两个主要结论是正弦定理和余弦定理,教学中应重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。在正弦定理部分,考虑到不容易直接得出一般三角形中边和角的关系,可以先引导学生在直角三角形中,考虑与边角有关的三角函数知识来发现这一规律,接着猜想这一规律的一般性,然后在锐角三角形和钝角三角形中进行证明,从而得出正弦定理,这一过程体现了由特殊到一般和分类讨论的数学思想。在锐角三角形和钝角三角形中证明结论时,