弹性力学 TXLX11 弹性波.ppt

12 概述§1-1 弹性体的运动微分方程§11-2 无旋波与等容波§11-3 横波与纵波§11-4 球面波第十一章弹性波 3 概述当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时,并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时,距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后,荷载所引起的位移、形变和应力, 就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程, 然后介绍弹性波的几个概念,针对不同的弹性波,对运动微分方程进行简化,最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。 4 §11-1 弹性体的运动微分方程上述两条假设,完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此,在静力问题中给出的物理方程和几何方程, 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程,仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时,所不同的仅仅在于,静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。本章仍然采用如下假设: (1)弹性体为理想弹性体。(2)假定位移和形变都是微小的。 5 对于任取的微元体,运用达朗伯尔原理,除了考虑应力和体力以外,还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的 x,y,z方向的分量分别为: 其中ρ为弹性体的密度。 2 2t u???? 2 2t????? 2 2t w????6 由平衡关系,并简化后得: 上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。 0 2 2?????????????t uXzyx zx yx x????0 2 2?????????????t Yxzy xy zy y?????0 2 2?????????????t wZyxz yz xz z????7 注1 :几何方程 x u x????y y?????z w z???? zy w yz????????x wz u zx???????y ux xy????????8 注2 :物理方程)]([ 1 zyxxE ????????)]([ 1 xzyyE ????????)]([ 1 yxzzE ???????? yz yzE ???)1(2?? zx zxE ???)1(2?? xy xyE ???)1(2??9 由于位移分量很难用应力及其导数来表示,所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程,并令: 得: z wyx ue??????????0)21 1()1(2 2 2 2???????????t uXux eE???0)21 1()1(2 2 2 2???????????t Yy eE?????0)21 1()1(2 2 2 2???????????t wZwz eE??? 10 这就是按位移求解动力问题的基本微分方程,也称为拉密( Lame )方程。要求解拉密方程,显然需要边界条件。除此之外, 由于位移分量还是时间变量的函数,因此求解动力问题还要给出初始条件。为求解上的简便,通常不计体力,此时弹性体的运动微分方程简化为: )21 1()1(2 2 2 2ux eEt u????????????)21 1()1(2 2 2 2??????????????y eEt)21 1()1(2 2 2 2wz eEt ?????????????