小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法.docx

第五章小行星轨道方程计算问题
——线性方程组求解地直接法


一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行地轨道 ，他在轨道平面内建立以太 阳为原点地直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同地时间对小行星作了 5次观察,测得轨道上地5个点地坐标数据如下表：b5E2RGbCAP

1
2
3
4
5
x





y





试确立小行星地轨道方程，并画出小行星地运动轨线图形

由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆地一般方程为：
2 2
a-|X 2a2xy a3y 2a4x 2a5y 1 = 0,
需要确定系数ai i =123,4,5 .
利用已知地数据，不妨设 冷％ i =1,2,3,4,5，欲确定系数色等价于求解一个线性 方程组：
「 2 2
印为 +2a2x1y1+a3y1 +2玄4为+285%+1 = 0
2 2
盼2 +2a2x2y2 +a3y2 +2a4x2 +2a5y2 +1 =0
I 2 2 ] ] ]
* a” 十2玄2乂3丫3 十玄3丫3 +284X3 +2a5『3 +1 = 0
2 2
盼4 +2a2x4y4 +a3y4 +2a4x4 +2a5y4 +1 =0
2 2 ] ] ]
a/5 2a?X5y5 *3丫5 284X5 2a5『5 1=0
可写成矩阵地形式：
AX =b
其中，
[
X： 2x1y1 y2 2x1 2y1 1
[
aj
[
-n
2 2
X2 2X2『2 y2 2X2 2y2
a2
-1
A =
2 2
X3 2x3y3 讨3 2x3 2y3
,X =
a3
,b =
-1
x" 2x4『4 y： 2x4 2y4
a4
-1
-
2 2
X5 2x5y5 y5 2x5 2y5
1 i
a5 一
1 i
-k

假设：
(1＞小行星轨道方程满足开普勒第一定律;
(2>以上所测得数据真实有效

该问题地模型为:
「a/
■-n

a2
-1

a3
=
-1

a4
-1

a5 一
i
-1










可见，解答上述问题就是对线性方程进行求解

直接法：利用一系列递推公式计算有限步 ，
然,实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差，舍入误差地积累有时甚至会严重影响
法,，通过将一个方 程乘以或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐步减少方程中地 变元地数目，最终使每个方程仅含一个变元， 是广泛应用地方法，其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节 .消元过程将
.
高斯消去法由于添加了回代地过程，算法结构稍复杂，但这种算法地改进明显减 少了计算量 .DXDiTa9E3d
，即使系数矩阵是稀疏地，但 在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大,


Gauss消去法是一个古老地求解线性方程组地方法 .由它改进 地选主元法是
目前计算机上常用地有效地求解低阶稠密矩阵线性方程组地方法 .5PCzVD7HxA

f
2论 +2x2 +2x3 =1 ()
3x1 2X2 4X3 =、 ()
捲 3X2 9怡=52 ()
3 1
解第 1 步,()(-—)加到(> ,