薀第五章小行星轨道方程计算问题腿——,他在轨道平面内建立以太阳为原点地直角坐标系,其单位为天文测量单位,在5个不同地时间对小行星作了5次观察,测得轨道上地5个点地坐标数据如下表:,,小行星轨道为一椭圆,设椭圆地一般方程为:羄,,不妨设,欲确定系数等价于求解一个线性方程组:蒇莅可写成矩阵地形式:艿其中,袈,,.:羁(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律;袀(2):蚃,虿可见,:利用一系列递推公式计算有限步,,实际计算结果仍有误差,譬如舍入误差,,,通过将一个方程乘以或除以某个常数,以及将两个方程相加减这两种手续,逐步减少方程中地变元地数目,最终使每个方程仅含一个变元,,,算法结构稍复杂,,即使系数矩阵是稀疏地,但在运算中很难保持稀疏性,因而有存储量大,,加到(,加到(,得等价方程组:芁膀羆第2步,加到(节羃第3步,回代法求解(罿肆用矩阵法描述地约化过程即为::用矩阵地初等行变换将系数矩阵化为具有简单形式地矩阵(如上三角阵,单位矩阵等),,设有个未知数地线性方程组为:肄(膂设则(,.螁则消去法为:芆第步:计算,用乘((即实行行地初等变换).消去第2个到第个方程中地未知数得与(蒄(蚀记为:蕿其中(,公式为:,,得到与原方程组等价地方程组:莂(芈记为,下面进行第步消元法:莆设,计算乘数用乘(,得到与原方程组等价地方程组:肂(螀(肇最后,重复上述过程,即且设共完成步消元计算,得到与(蒅(蒃再用回代法求解(,计算公式为:蒂((薅由消元过程和回代过程求解线性方程组地方法称为消去法.((Gauss消去法)设若约化地主元素则可通过Gauss消去法(不进行两行地初等变换—两行交换位置)将方程组化为等价地三角形方程组(,设约化主元素由于对实行地初等变换相当于用初等矩阵左乘,于是,消去法第1步:,有:蚆膀其中:蚁袅(为初等三角矩阵)消去法第步消元过程:螃袁则有蒀(羅其中:膃薃利用递推公式(芈(羅由(薄(肁其中羇肅为由乘数构成地下三角阵,为上三角矩阵,(,用矩阵理论来分析消去法,得到一个重要结果,即在条件下消去法实质上是将分解成两个三角矩阵地羅显然,可由消去法及行列式性质可知,如果,(地顺序主子式)膄反之,可用归纳法证明:如果地顺序主子式满足:膂膁则总结以上讨论,可得如下重要定理:(矩阵地三角分解)设,如果地顺序主子式有芄,则可分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵地乘积,,(,为单位下三角阵,为上三角阵,由假设知存在(因为可逆故可逆),从而由(,左端为单位下三角阵,(杜利特尔)
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