小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法.doc

芄第五章小行星轨道方程计算问题袀——,他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系,其单位为天文测量单位,在5个不同的时间对小行星作了5次观察,测得轨道上的5个点的坐标数据如下表:,并画出小行星的运动轨线图形。,小行星轨道为一椭圆,设椭圆的一般方程为:莆,莂需要确定系数。袁利用已知的数据,不妨设,欲确定系数等价于求解一个线性方程组:羅螆可写成矩阵的形式:膃其中,蚈,,。:袃(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律;蝿(2)以上所测得数据真实有效。:蚄,袁可见,解答上述问题就是对线性方程进行求解。:利用一系列递推公式计算有限步,能直接得到方程组的精确解。当然,实际计算结果仍有误差,譬如舍入误差,舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。莄求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法,但用在现代电子计算机上仍然十分有效。消去法的基本思想是,通过将一个方程乘以或除以某个常数,以及将两个方程相加减这两种手续,逐步减少方程中的变元的数目,最终使每个方程仅含一个变元,从而得出所求的解。其中高斯消去法是广泛应用的方法,其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程组再通过回代过程得出它的解。高斯消去法由于添加了回代的过程,算法结构稍复杂,但这种算法的改进明显减少了计算量。薈直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的,但在运算中很难保持稀疏性,因而有存储量大,程序复杂等不足。。由它改进的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法。,加到(,加到(,得等价方程组:薁螁蒇第2步,加到(薆莁第3步,回代法求解(薈薆用矩阵法描述的约化过程即为:。薀此例可见消去法的基本思想是:用矩阵的初等行变换将系数矩阵化为具有简单形式的矩阵(如上三角阵,单位矩阵等),而三角形方程组是很容易回代求解的。羈一般的,设有个未知数的线性方程组为:蒅(袂设则(,。蚁则消去法为:肆第步:计算,用乘((即实行行的初等变换)。消去第2个到第个方程中的未知数得与(袄(薂记为:蒈其中(,公式为:荿。莄第步,继续上述过程消元。设第1步到第步计算已完成,得到与原方程组等价的方程组:芃(蒀记为,下面进行第步消元法:薇设,计算乘数用乘(,得到与原方程组等价的方程组:螃(肃(薁最后,重复上述过程,即且设共完成步消元计算,得到与(蚆(蒆再用回代法求解(,计算公式为:螃(莈元素称为约化的主元素。将(羈由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为消去法。((Gauss消去法)设若约化的主元素则可通过Gauss消去法(不进行两行的初等变换—两行交换位置)将方程组化为等价的三角形方程组(,设约化主元素由于对实行的初等变换相当于用初等矩阵左乘,于是,消去法第1步:,有:螄螀其中:艿薇(为初等三角矩阵)消去法第步消元过程:膄蒁则有莀(螅其中:薃芁利用递推公式(莁(肈由(羃(羂其中腿膆为由乘数构成的下三角阵,为上三角矩阵,(,用矩阵理论来分析消去法,得到一个重要结果,即在条件下消去法实质上是将分解成两个三角矩阵的蚆显然,可由消去法及行列式性质可知,如果,则有。螂其中芀(的顺序主子式)蕿反之,可用归纳法证明:如果的顺序主子式满足:膅蒂则总结以上讨论,可得如下重要定理:(矩阵的三角分解)设,如果的顺序主子式有蚇,则可分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积,即且分解是唯一的。薅证明现仅就来证明唯一性,存在性上面已证。假若(,为单位下三角阵,为上三角阵,由假设知存在(因为可逆故可逆),从而由(,左端为单位下三角阵,因此左右两端应为单位矩阵。故即分解是唯一的。称矩阵的三角分解(杜利特尔)分解。芃其中聿