球的切接问题专题.docx

专题:
球的切接问题

1. 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正 方体的中心。设正方体的棱长为 a，球半径为R。
如图1,截面图为正方形 EFGH的内切圆，得 ；
2
2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点,
如图2作截面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得
3正方体的外接球
正方体的八个顶点都在球面上,
如图3,以对角面AA作截面图得,
,
D1
图1
C
hd1
是内切球的球心，正四面体棱长为 内切球半径为r，外接球半径为
01
图3
A1
S1
3 y
D1

面体的外 接球和内 切球
如图4所 示，设
点 O
a .由图形的对称性知，点
R .
正四面体的表面积 S表=4 —3a2.
4
1 - 3 2 3 2 2 2
a AE a AB — BE
12
正四面体的体积Va_bcd二
3 2 2
a a
12
P 2
——a
3
2 3 a 12
3Va -BCD
2 3
3 —a3
12
3a2 _ 12
D
在 Rt BEO 中，BO2 = BE 2 EO2，即 R2 二
a r2，得 R 6 a，得 R = 3r | 4
1 3
小结:正四面体内切球半径是高的4，外接球半径是高的4
长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为 a, b, c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?
联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图
..b2 c2 (4)
结论：由图形（
:2 人2 * 2
4）我们可以发现外接球的半径 R_ a b C
2
二、题型与方法归类 例1、（ 1 ）若棱长为
3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
本题主要考查简单的组合体和球的表面积. 画岀球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角
线，所以有球的半径 R= 2，则该球的表面积为 S= 4 R = 27 n故填27 n
（2）求棱长为1的正四面体外接球的体积.
设SO1是正四面体 S— ABC的高，外接球的球心 0在SO1上，设外接球半径为 R，AO1= r，
从而SOi
在 Rt △AOO
2 3
—R)+(W
3=詐
则在〃BC中，用解直角三角形知识得 r =于，
）2,解得R =专，
变式练习：
1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积为
16,则这个球的表面积（C ）
A. 16 n
B . 20 nC. 24 n D . 32 n
32
2已知正方体外接球的体积是 石n那么正方体的棱长等于
A. 2 ,2B.
解析由题意知
V = 4 tR3=竽，.•.R= 2,外接球直径为
即正方体的体对角线，设棱长为 a，
则体对角线
l= 3a = 4，a =拧.
，体积为
半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积为
【解析】
外切圆柱的底面半径为 R,咼为2R，.S表=S侧+ 2S底=2 R 2R + 2