树形动态规划.doc

树型动态规划的实例分析
什么是树型动态规划
顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：
根—>叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。
叶－>根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。
例题与解析
加分二叉树
【问题描述】
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
【输入格式】
第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。
【输出格式】
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
【输入样例】
5
5 7 1 2 10
【输出样例】
145
3 1 2 4 5
[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：
value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]}
题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示
[PASCAL源程序]
{$N+}
program NOIP2003_3_Tree;
const
maxn=30;
var
i,j,n,d:byte;
a:array[1..maxn]of byte;
value:array[1..maxn,1..maxn]of comp;
root:array[1..maxn,1..maxn]of byte;
s,temp:comp;
f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;
procedure preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}
begin
if p2>=p1 then begin
write(f2,root[p1,p2],' ');
preorder(p1,root[p1,p2]-1);
preorder(root[p1,p2]+1,p2);
end;
end;
begin
write('Input fileNo:');readln(fileNo);
fn1:=''+fileNo;fn2:=''+fileNo;
assign(f1,fn1);reset(f1);
assign(f2,fn2);rewrite(f2);
readln(f1,n);
for i:=1 to n do read(f1,a[i]);
close(f1);
fillchar(value,sizeof(value),0);
for i:=1 to n do begin
value[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加