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第四章 线性系统的根轨迹法
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回顾与展望
线性系统分析的三种方法：
时间域法 根轨迹法 频域法
时间域法：
特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。
内容：稳定性分析－充要条件（闭环系统特征根均具有负 实部）
劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）－用闭环特 征方程构造劳斯表
赫尔维茨判据（行列式法）－用闭环特征方程构造 行列式
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准确性分析－稳态误差的计算
动态性能分析－系统动态性能随系统闭环极点位置
变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；
附加闭环零极点对系统性能的影响。
2、根轨迹法－分析和设计LTI系统的图解方法，使用十分简便， 特别在进行多回路系统分析时，应用根轨迹法比用 其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛 应用。
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学习目的及要求：
掌握根轨迹的基本概念
掌握控制系统根轨迹的绘制方法
能够运用根轨迹法对控制系统进行分析
明确等效开环传递函数的概念，能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图
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重点难点
重点：根轨迹的绘制
利用根轨迹分析控制系统
关键点：特征方程
幅值条件，相角条件
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学习方法
通过具体硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。
学会利用MATLAB软件绘制系统根轨迹的方法。
用
学
习
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一、 根轨迹的概念
根轨迹：开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（闭环系统的极点）在S平面上变化的轨迹。
k
s(+1)
例 试分析右图所示系统的闭环特征方程式的根随系统开环增益K的变化在S平面的分布情况。
§4－1 根轨迹法的基本概念
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K=0时， s1=0,s2=－2
0＜k＜ 时，两个负实根 ；若s1=－, s2=?
K=，s1=s2=－1
＜k＜∞时，s1,，2=－1±j√2k－1
特征根：s1,2= －1±√1－2k
特征方程：
S2+2s+2k=0
8
-2
-1
0
j
-1
-2
2
1
K=0
K=0
K=
K=1
K=1
K=
K=
K
K
注意：
K一变，一组根变；
K一停，一组根停；
一组根对应同一个K；
根轨迹与系统的性能
1、稳定性
2、稳态性
3、动态性能
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二、 闭环零极点与开环零极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。
R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
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