椭圆双曲线离心率取值范围的求法.pdf.pdf

30 中学数学教学 2008年第2期例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法湖北省阳新县高级中学邹生书(邮编:435200) 离心率是圆锥曲线的核心概念,在求椭圆、,数学思想和方法的综合点,,思维能力和运算能力要求高,学生在解题中普遍存在三难:进入难、深入难、析出难. 纵观各种模拟考试和高考试题,求离心率取值范围问题有两种题型,,即以“形”为主的解题的方向和以“数”,. 例1(2007,湖南卷)设F。、F2分别是椭圆_2鲁+告一1(口>b>o)的左右焦点,若在其右准 U 线上存在点P,使线段PF。的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是( A.(o,譬) B.(o,每) 厶7 o c.|譬,1) ,1) L o ·解..。点F2在线段PF。的中垂线上, .‘.F1F2=PF2, 又PF2≥F2 H, ...FlF2≥F2H, 即2f≥芷一f, f ...3f2≥口2, P 9j《≮. 0R》H 2争≥专, ...e≥枣,又e<1'...√--C3≤e<1,应选D. 点评以“形”为解题方向,从线段人手,用垂线段最短列不等式. 例2过双曲线紊一等一1的右焦点作渐近线y一岛的垂线与双曲线左、右两支都相交,则双曲线的离心率e的取值范围是( <e<2 <e<在 >>2 穴怨一 17 心盯i ...f2>2a2, ...e2=1C>2,...e>√2,故应选C. 点评以“形”为解题方向,从角人手,用正切函数的单调性列不等式. 例3 椭圆乏+荠=1的左、右焦点分别为 F。、F。,P为椭圆上的任意一点,向量两、剪专的数量积的最大值的取值范围是[f2,3c2],则离心率的取值范围是( A.。[{,丢] B.[专,譬] ,]] 解设P(x,y),‘.‘点P在椭圆上,...鲁+ 芳一1’..·Y2:62_≯,两·两=市· F≯=(z+f,y)·(z—f,y)=一十y2一c2= z2+62一笃z2一c2一妄z2+62一f2,‘..0≤z2≤口z,...当一一口z时,,依题意,,≤b2≤3c2,即C2≤a2一c2≤3c2,故2c2 ≤口24C2...÷≤薯≤丢,即{≤e2≤丢, ...百1≤e≤等,放应选& 点评此题属显示约束条件题型,以“数”为解题方向,从向量数量积的坐标运算人手,用曲线上点的坐标的范围求数量积的最大值,再根据最大值的范围列不等式. 例4 椭圆与+告=1(口>b>o)上一点 P,使么OPA=90。,0为坐标原点,A为右顶点, 万方数据 2008年第2期中学数学教学 31 则椭圆的离心率的取值范围是(八(譬萼)&(譬,-) c(i1,1)D.(o'1) /_一锶一\\?选纱i 解设P(x,y),。.‘么OPA=90。, ...点P在以OA为直径的圆上,其方程为: (z一号)。+62一百az,即一+扩一凹=0①又点P在椭圆上,孑X-+旁一1 ②由①、②消去y,得f222一a3z+口2b2—0, 此方程有两个根,它们分别是圆与椭圆交点 A、P的横坐标zA、