定积分应用题详解.ppt

定积分应用题
选择题
1抛物线y2=4x及直线x=3围成的图形绕x轴旋转
周而成的立体体积V=B1
(A)18;(B)18π;(C)2438;①D)24378.
2半径为R的半球形水池装满了水,现将水全部抽
出,需要做的功W=[C1
(A)I(R-x )gdx; (B) x gdx
(C)Jo zx(R-x )gdx; (D)[zx'gdx
3曲线y=l(1-x2)在0≤x≤上的弧长L为A
(A)
1+x
dx
(B)
)2
C)1+2x;D)+0x)
1+x
4曲线y=x(x-1)x2)与x轴所围成图形的面积为C
(a x(x-1)(x-2ydx;(B)x(x-1(x-2)
(C)x(x-1)(x-2)dx-.x(x-1(x-2dx:
D Jx(x-1(r-2ydx+x(x-1)(x-2)d
5曲线y=sn2x(0≤x≤m)与x轴所围成的图形绕
x轴旋转所成的旋转体的体积为[B1
4
4丌
2丌
(A);();(C
(D)
6矩形闸门的宽am,高hm,将其垂直的放入水
中,上沿与水面平齐,则闸门一侧所受压力P[A1
(a)gard
(B)
hxdx
(C)&ch
)gl2axdr
二、填空题
12x+x
dx
1+x
答案:ln2
答案
√x(+x)
)有一个原函数tanx,则」+xf'(x)x=
答案:-2+
(x)为[0,+∝]上的连续函数,且
f(t)=x2,则f(2)
答案:
5设f(x)=vt(1-)则的极大值点为
=x2与直线y=2所围成的图形的面积
A
答案:82
=1与直线x=1,x=2,y=0所围成图形绕y
轴旋转一周的立体的体积V=
答案
=x2介于x=0,x=1之间长度的定积分表
达式s=
答案:小
1+4xd
、典型例题
y
r=acos t
例1已知星形线
(a>0)
y=asin t
求1它所围成的面积;
2它的弧长;
3它绕轴旋转而成的旋转体体积
解1°
A=4 ydx=4rasin't 3a cost(-sint)dt
=122 a[sin t-sint]t
31x531
122(
Ta
422642

L=4[2√(x2)2+(y1)2dt
432,(3a cost(-sint )+(3a sin't(cost)dt
y
=4 23a cost sintdt
12a ]sintd sint
sinta
2
x=acos t
y=asin t
·由对称性有
gy ax
2 ra'sint 3a cost(sint )dt
6Ta2sin't(1-sin t)dt
x =a cos t
6428642
=6m
y=asin t
7539753
32
105
例2求由摆线x=a(t-sint),y=a(1
OS
(a>0)的一拱与x轴所围平面图形的面积
#: A=a(1-cost).a(1-cost)dt
a(1-cost)dt
4a sin=dt
8
sin udu
=16a'sinudu
(令u
31
=5兀a
422
例3求心形线r=a(1+c0s0)所围平面图形的
面积(a>0).
de
解dA=a(1+cs6)de
利用对称性知
A=2·a2(1+c0s)d
-a (1+2cos 8+ cos 0de
a-0+2sin6+-sin 28
T