圆锥曲线常见结论.docx

圆锥曲线的方程与性质
1、椭圆中的几个重要结论:
定义及周长：
设戶是椭圆* + * = l(“>b>0)上的点，林，勺是椭圆的焦点，ZFW
则 S、，= b2 tan —
△巧勺 2
当”为短轴端点时、乙F\PF<为最大；当尸为短轴端点
时，S 有最大值，最大值为比；
椭圆上的点(/12)距0最远，最远距离为目，坷 嘔
距0最近，最近距离为加Ir-c^P^ PF^b2
过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦(通径)为最短，其长度为二；
a
焦半径公式：|P斤lud + exo，『巧| = °一匕®.
椭圆上的点心距/[的距离最近，最近距离为a-c,仓距件的距离最远，最远距 离
为Me；
b1 <\PF\]PF^<cr ；
v2 v2
A.、州为椭圆—+ —= 1(6/>Z?>O)长轴两端点，P为椭圆上异于儿、州的点,
z cr b" 1 z
• 2
则纸、kp五=-产.
,2
k\B • %
a
已知椭圆具有性质：若必川是椭圆C上关于原点对称的两个点，点戶是椭圆上任 意一点，当直线刖，/W的斜率辰，為都存在时，那么尬与厶之积是与点户的位置无关的
y— n y+n y—n If x~rff h»、
足值，kPXf • kPX= • — =- — • =- 飞(疋值).
x—m x 弋 m x —m a x —m a
经过椭圆一-+ = 1(" > Z? > 0)上一点 M(x0, y0)的切线方程为—+ ；； = 1 o
2、双曲线中的几个重要结论：
（1） 定义及周长：
X2 y2
（2） 设“是双曲线7—苗 i上的点，人，勺是双曲线的焦点，ZFE Q ,
0
则S△怦"2 co右
（3） 过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦（通径）为最短，其长度为比；
a
（4） 特征三角形：
2
设P是双曲线+—* = 1右支上的点，传到其一条渐近线的距离为b;
2 2
过双曲线二一匚=1右焦点坊引其一条渐近线的垂线，则第一象限垂足的坐标
（5） 焦半径公式：『用\PF2\=\a-ex{）\.
2 2
（6） 设戶是双曲线*一缶=1右支上的点，贝iJ|P/s|＞^ \PF]＞a + c.
2 2
【例】（高考）已知双曲线二一二=1仗＞0小＞0） cr Zr
百（一GO）,尺（c,0）,若双曲线上存在一点p使^-—4^ = -,则该双曲线的离心率的取 sin ^Pr2F} c
值围是 .
2 2
（7） 渐近线方程：与双曲线二一二=1@＞0上＞0）共渐近线的双曲线系方程为
cr \r
2 2 2 2
2—二=久（几HO）,渐近线的方程为二一二=0.
cr b， cr b1
2 2
（8） 若此艸为双曲线㊁一召=130,方＞0）上关于原点对称的两个点，点戶是双曲线上任
a b
意一点，当直线弘/W的斜率尬 為都存在时，那么尬与尿之积是与点"的位置无关的
定值,
kpif • kp、=
y—门 y+/7_y — / x—m x+m x—m
If
7
2 2/2
x —m b
9 9 ~7
x —m a
（定值）.
3、抛物线中的几个重要结论：
（1）定义（转化化归思想）:
【例11⑴已知抛物线xMy的焦