a专题06函数单调性判断、证明和单调区间求法.doc

第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【考纲要求】
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。
【基础知识】
区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。
3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像
（1）定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。
（2）复合函数分析法
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）。
（4）图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。
4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像
（1）定义法
（2）复合函数法
先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。
（3）导数法
在其对称区间上的单调性相减，如函数。
（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。
（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。
【方法讲评】
证明函数在区间是增函数。
解：设，


函数在区间是增函数。
例2 求函数的单调区间．
解：∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，设x1、x2≠0，且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
(1)当x1<x2≤－a或a≤x1＜x2时，
x1－x2<0，x1·x2>a2，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数．
(2)当－a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时，x1－x2<0，
0<x1·x2<a2，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．
例3 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，
（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式
解：

【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。
例4 已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II），，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于 ， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2].
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
例5 设函数，，求函数的单调区间与极值。
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。
【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个