函数单调性的判断、证明和单调区间的求法.doc

第 06 讲:函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】区间具有严格的单调性,区间 D 叫做( ) y f x ?的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。 3、判断证明函数单调性的一般方法: 单调四法, 导数定义复合图像(1 )定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设 Dxx? 21, ,且 1 2 x x ?;②作差,求)()( 21xfxf?;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);④判断)()( 21xfxf?的正负符号;⑤根据函数单调性的定义下结论。(2 )复合函数分析法设( ) y f u ?, ( ) u g x ?[ , ] x a b ?, [ , ] u m n ?都是单调函数,则[ ( )] y f g x ?在[ , ] a b 上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表: 设( ) f x 在某个区间( , ) a b 内有导数 1 ( ) f x ,若( ) f x 在区间( , ) a b 内,总有 1 1 ( ) 0( ( ) 0) f x f x ? ?,则( ) f x 在区间( , ) a b 上为增函数(减函数)。(4 )图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图,如果函数的图像,在某个区间 D , 从左到右, 逐渐上升, 则函数在这个区间 D 是增函数; 如果从左到右,是逐渐下降,则函数是减函数。 4 、求函数的单调区间:单调四法,导数定义复合图像(1 )定义法(2 )复合函数法先求函数的定义域, 再分解复合函数, 再判断每一个内层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。(3 )导数法在其对称区间上的单调性相减,如函数 2xy?。(2 )在公共的定义域内,增函数+ 增函数是增函数,减函数+减函数是减函数。其他的如增函数?增函数不一定是增函数, 函数 xy?和函数 3xy?都是增函数,但是它们的乘积函数 4xy?不是增函数。(3 )求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。(4) 单调区间必须用区间来表示, 不能用集合或不等式, 单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。(5) 在多个单调区间之间不能用“或”和“?”连接, 只能用逗号隔开。【方法讲评】例1 证明函数( ) ( 0) a f x x a x ? ? ?在区间( , ) a ??是增函数。解:设 21xxa??, 21 22 2111 221 12 212)()(xx ax xxaxxxx axx axxfxf ????????? 21 211221 121221) )(()()(xx axxxxxx xxaxxxx???????? 21xxa??0 12???xxaxx? 210)()( 12???xfxf?函数( ) ( 0) a f x x a x ? ? ?在区间( , ) a ??是增函数。例2 求函数 2 ( ) ( 0) a f x x a x ? ? ?的单调区间. [ 来源: 学科网] 解: ∵函数的定义域为{x|x∈R ,且 x≠ 0} ,设 x 1、x 2≠0 ,且 x 1<x 2, f(x 1)-f(x 2)=x 1+ a 2x 1-x 2- a 2x 22 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )(1 ) ( )( ) ( )( ) x x a x x a x x x x x x x x a x x x x a x x x x x x ?? ?????? ??? ? ?(1) 当x 1<x 2≤-a或a≤x 1<x 2 时, x 1-x 2 <0 ,x 1·x 2>a 2, ∴f(x 1)-f(x 2 )<0 ,∴f(x 1 )<f(x 2), ∴f(x)在(-∞,- a] 上和在[a ,+ ∞) 上都是增函数. (2) 当- a≤x 1<x 2 <0 或 0< x 1<x 2≤a 时, x 1-x 2 <0 , 0< x 1·x 2<a 2,∴f(x 1)-f(x 2 )>0 ,∴f(x 1 )>f(