函数单调性的判断、证明和单调区间的求法.doc

第06讲:函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】区间具有严格的单调性,区间D叫做( )y f x?的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。3、判断证明函数单调性的一般方法:单调四法,导数定义复合图像(1)定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设Dxx?21,,且1 2x x?;②作差,求)()(21xfxf?;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);④判断)()(21xfxf?的正负符号;⑤根据函数单调性的定义下结论。(2)复合函数分析法设( )y f u?,( )u g x?[ , ]x a b?,[ , ]u m n?都是单调函数,则[ ( )]y f g x?在[ , ]a b上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表:设( )f x在某个区间( , )a b内有导数1( )f x,若( )f x在区间( , )a b内,总有1 1( ) 0( ( ) 0)f x f x? ?,则( )f x在区间( , )a b上为增函数(减函数)。(4)图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图,如果函数的图像,在某个区间D,从左到右,逐渐上升,则函数在这个区间D是增函数;如果从左到右,是逐渐下降,则函数是减函数。4、求函数的单调区间:单调四法,导数定义复合图像(1)定义法(2)复合函数法先求函数的定义域,再分解复合函数,再判断每一个内层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。(3)导数法在其对称区间上的单调性相减,如函数2xy?。(2)在公共的定义域内,增函数+增函数是增函数,减函数+减函数是减函数。其他的如增函数?增函数不一定是增函数,函数xy?和函数3xy?都是增函数,但是它们的乘积函数4xy?不是增函数。(3)求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。(4)单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。(5)在多个单调区间之间不能用“或”和“?”连接,只能用逗号隔开。【方法讲评】例1证明函数( ) ( 0)af x x ax? ? ?在区间( , )a??是增函数。解:设21xxa??,21222**********)()(xxaxxxaxxxxaxxaxxfxf?????????212**********))(()()(xxaxxxxxxxxaxxxx????????21xxa??012???xxaxx?210)()(12???xfxf?函数( ) ( 0)af x x ax? ? ?在区间( , )a??是增函数。例2求函数2( ) ( 0)af x x ax? ? ?的单调区间.[来源:学科网]解:∵函数的定义域为{x|x∈R,且x≠0},设x1、x2≠0,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+a2x1-x2-a2x2222 11 2 1 21 2 1 22 21 2 1 2 1 21 21 2 1 2( ) ( )(1 )( )( )( )( )x xax x a x xx x x xx x a x x x x ax xx x x x?? ?????? ??? ? ?(1)当x1<x2≤-a或a≤x1<x2时,x1-x2<0,x1·x2>a2,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-a]上和在[a,+∞)上都是增函数.(2)当-a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时,x1-x2<0,0<x1·x2<a2,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在[-a,0)和(0,a]( )f x的定义域是0x?的一切实数,对定义域内的任意1 2,x x,都有1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ?,且当1x?时( ) 0f x?,(2) 1f?(1)求证( )f x是偶函数;(2)( )f x在(0, )??上时增函数;(3)解不等式2(2 1) 2f x? ?解