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道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法

【摘要】本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案,推导了其计算过程及公式,并附实例。对始于高等级道路的平面卵形曲线的测设有重要的指导作用。
高等级公路,特别是高速公路的平面线形设计形式很多,但归根结底,它们都由直线、圆和缓和曲线( 我国《公路路线设计规范》中规定回旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形) 等公路平面线形要素组合而成。各种平面线形设计形式,如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等,对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹,消除曲率突变,增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义,但同时,也使曲线计算及野外测设更为复杂。本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线,推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式,为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。
一、回旋线的基本特征及坐标计算
回旋线上,任意一点的曲率半径ρ与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数( 图 1) 即
ρl =A2
(1)
或
式中, A 2 为回旋曲线常数,表征回旋曲线曲率变化缓急程度的量,称 A 为回旋曲线参数。
图 1
1. 回旋曲线上任意一点坐标计算
由图 1( 曲线右旋) ,取回旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴,法线方向为 y 轴,任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β。在缓和曲线上对任意一点 P 取微分
dl=ρdβ
dx=dlcosβ
dy=dlsinβ
考虑式(1) 对β或 l 在区间[0 , β]或[0 , l ]上积分后有下列关系式成立
l 2 = 2A 2 β
(2)
(3)
(4)
或者
(5)
(6)
对于公路平面线形的基本形,其缓和曲线始于直线终于圆曲线,故缓和曲线的曲率半径ρ变化于∞~ R ( 圆曲半径) 。设缓和曲线段长度为 ls , 则

(7)
(8)
2. 回旋线的几何要素
见图 1 ,回旋线的几何要素计算公式如下:任意点 P 处的曲率半径( 由式(1) 和式(2))
(9)
P 点的回旋曲线长
(10)
P 点的缓和曲线角( 切线方位角,由(9) 式)
(11)
上面导出了当参数分别为β和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。显然,缓和曲线左旋时( 图 2) ,与右旋相比, x 坐标公式一致,而 y 、β反号。若令 sign=±1 ,缓和曲线右旋时取 sign=1 ,左旋时取 sign=-1 ,则坐标和方位角等符号量可统一表示为:
(12)
图 2
3. 回旋曲线的基本特征
1. 几何特性。回旋曲线随着曲线长度的增加,曲率按线性函数增加。起点处 l =0 ,曲率 l /ρ= 0 ,终点处 l =ls ,曲率 l /p =常数。
2. 相似性。回旋曲线的形状只有一种,回旋曲线参数 A 即为放大系数。
二、卵形曲线形式及其缓和曲线段坐标计算
按直线- 缓和曲线(A1)- 圆曲线(R1)- 缓和曲线- 圆曲线(R2)- 缓和曲线(A2)- 直线的顺序组合构成的平面线形形式(R1≠R2) ,称为卵形曲线( 图 3) 。卵形曲线中,显然圆曲线- 缓和曲线- 圆曲线段的缓和曲线坐标计算是新的课题,它成为整个卵形曲线计