第二节 相似矩阵-课件（PPT·精·选）.ppt

定义:设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得, A B nP 1 P AP B ??对进行运算称为对进行相似变换, A 1 P AP -APAB 可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。注: , ABA B 或称矩阵与矩阵相似, 记作 BA~ (1)反身性: (2)对称性:若则(3)传递性:若则 AA~BA~AB~CBBA~,~ CB~ 。的特征值为对角阵 n n????,, 1 1?????????????证: 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。, 使由条件知存在可逆阵 BPAPP??1, EP PPAPEB?? 11??????PEAP)( 1????PEAP????1EA???相似, 与对角阵若?????????? n A??? 1这表明 A与B有相同特征值相似都与相似与???;;EBEABA???设A 与 B 相似, 推论的特征向量。为则A n??,, 1?性质 1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩(1) 相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质: (介绍) (3) 若与相似,则与相似。( 为正整数) A B mA mBm?????? 1 1 1 1 2 1 2 . P A A P P A P P A P ? ???(5)?? 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 P k A k A P k P A P k P A P ? ??? ??(6)(为任意常数) 1 2 , k k (2) 若与相似,则与相似。( 为正整数) A Bk kA kB (4) 若与相似,而是一个多项式, A B ( ) f x 则与相似。( ) f A ( ) f B 特别地,若矩阵 A与对角阵Λ相似(P -1 AP = Λ),则 1??PPA kk?OAfA f?)( )( 的特征多项式,则是矩阵若?的值。相似,求和如果例:已知矩阵 yxBA y BxA, ,20 430 002,010 10 002???????????????????????3,0???yx得法二:特征多项式相等行列式相等法一:相似矩阵迹相、(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注:(1)与单位矩阵相似的 n阶矩阵只有单位阵 E本身, 与数量矩阵 kE 相似的 n阶方阵只有数量阵 kE 本。二. 矩阵可对角化的条件(利用相似变换把方阵对角化) nA 对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,P 使得为对角阵,就称为把方阵对角化。 1 P AP ??? A 相似与对角阵? A ?P AP ???????????? n nppp???? 1 21),,,( , ) ,,,( 21npppP ?? AP P 1????),,,( 21n Ap Ap Ap?),,,( nnppp???? 2211?, iiip Ap???),,2,1(ni??,,, 1 是特征值 n????是特征向量。 npp,, 1?, ,, 为非零向量 npp?? 1 P 的列向量是与 A相似的对角阵中相应对角元素的特征向量 ip i??????????????? n? 1设?证明: 定理: 阶矩阵可对角化(与对角阵相似) nA?有个线性无关的特征向量。 A n P可逆,因此线性无关 npp,, 1?, ) ,,,(???????????? n npppP???? 1 21?, 设.,,, 21nppp?),,,( 21n Ap Ap Ap AP????????????? n nppp???? 1 21),,,( ),,,( nnppp???? 2211???P 对应的特征向量为的特征值是反之设,,,,A n???? 21 可逆 P?相似与??A且相似阵 P ),,,( 21nppp??线性无关 nppp,,, 21????? AP P 1 (2)可逆矩阵由的个线性无关的特征向量作列向量构成。 PAn (逆命题不成立) 推论: 若阶方阵有个互不相同的特征值,nAn 则可对角化。(与对角阵相似) A?注:(1)若则的主对角元素即为的特征值, A A 矩阵的相似标准形。 k??如果不计的排列顺序,则唯一,称之为?~A???? 72 2??????0? 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A E ??