高等数学 第十二章 无穷级数 ppt课件.ppt

三、幂级数和函数的求法
四、函数的幂级数展开法
一、数项级数的审敛法
二、求幂级数收敛域的方法
第九章
主 要 内 容
求和
展开
(在收敛域内进行)
基本问题：判别敛散性；
求幂级数收敛域；
求和函数；
函数展开成幂级数.
当 时为数项级数;
当 时为幂级数;
为傅立叶级数.
为傅氏系数)时,
*当
对于函数项级数
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
不满足
发 散
满足
根值审敛法
收 敛
发 散
不定
比较审敛法
用其它方法判别
*积分判别法
部分和极限
比值审敛法
一、数项级数的审敛法
正项级数比较审敛法
设 与 是两个正项级数，且
则：⑴若级数 收敛，则级数 也收敛；
⑵若级数 发散，则级数 也发散.
常用来比较的级数：
级数
当 时收敛，
当 时发散.
（1）
例如
（2）等比级数
例如
极限形式的比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且
⑴若
则级数 与级数 同时收敛，同时发散；
⑵若 且级数 收敛，则级数 收敛；
⑶若 且级数 发散，则级数 发散.
3. 任意项级数审敛法
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 ,
为收敛级数，
概念: 设
且余项
若
收敛 ,
称
绝对收敛,
若
发散 ,
称
条件收敛.
例1 判别下列级数的敛散性:
解答提示: (1)
据极限形式的比较判别法, 原级数发散 .
因调和级数发散,
利用比值判别法, 可知原级数发散.
用比值法, 可判断级数 收敛
再由比较法可知原级数收敛 .
利用比值判别法, 可知原级数在 时发散， 时收敛； 时仅当 收敛.
例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
提示: (1)
P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛,
原级数绝对收敛 .
故