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函数单调性的判定方法

定义法
一般地，设 f 为定义在 D 上的函数。若对任何 x1 、 x2  D ，当 x1  x2 时，总有
(1) f (x1)  f (x2 ) ，则称 f 为 D 上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1)  f (x2 ) 时，称 f 为 D 上
的严格增函数；
(2) f (x1)  f (x2 ) ,则称 f 为 D 上的减函数，特别当成立严格不等式 f (x1)  f (x2 )
时，称 f 为 D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数 y  f (x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取 x1 , x2  D 且 x1  x2 ；
（2）作差 f (x1 )  f (x2 ) ；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断 f (x1 )  f (x2 ) 差与 0 的大小）；
（5）定论（即指出函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性）。
例 f (x)  x 3  a(a  R) 在 (,) 上是减函数。
证明：设 x1 , x2  (,) ，且 x1  x2 ，则
3 3 3 3 2 2
f (x1 )  f (x2 )  x1  a  (x2  a)  x2  x1  (x2  x1 )(x1  x2  x1 x2 ).
x 3
由于 x 2  x 2  x x  (x  2 ) 2  x 2  0 ， x  x  0
1 2 1 2 1 2 4 2 2 1
则 2 2 ，即 ，所以 在 上是减函数。
f (x1 )  f (x2 )  (x2  x1 )(x1  x2  x1 x2 )  0 f (x1 )  f (x2 ) f (x)  ,
k
例 f (x)  x  (k  0) 在 (0,) 上的单调性。
x
证明：设 x1 、 x2  (0,) ，且 x1  x2 ，则
k k k k
f (x1 )  f (x2 )  (