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空间向量与立体几何知识点总结
一、基本概念 :
1、空间向量：
2、相反向量：
3
、相等向量：
4、共线向量：
6、方向向量 :
7
5
、共面向量：
、法向量
8、空间向量基本定理：
二、空间向量的坐标运算：
向量的直角坐标运算
r r
设 a ＝ (a1 ,a2, a3 ) ， b ＝ (b1, b2, b3) 则
r r r r
a ＋ b
＝ (a1
b1, a2
b2, a3
b3 ) ； (2) a－ b
＝ ( a1
b1, a2
b2, a3
b3) ；
r r r
(3) λ a ＝ (
a1,
a2 ,
a3)
( λ∈ R)； (4) a · b
＝ a1b1
a2b2
a3b3 ；
设 A( x1,
y1, z1) ， B( x2, y2, z2 ) ，则
uuur uuur uuur AB OB OA =
r

(x2
r

x1, y2

y1, z2

z1) .
3、设 a
r r
( x1, y1, z1)， b
r r r r
( x2, y2, z2 ) ，则
r r r r
a Pb
a b(b
0) ； a b
a b 0
x1x2
y1y2
z1z2 0 .
夹角公式
r r

r r a1b1

a2b2

a3b3
设 a ＝ (a1 ,a2, a3 ) ， b
＝ (b1, b2, b3) ，则
cos
a,b
.
2 2 2 2 2 2
a1 a2 a3 b1 b2 b3
异面直线所成角
r r

r r
| a b |

| x1x2

y1 y2

z1z2 |
cos | cos
a,b
|= r r .
| a | | b |
x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2
平面外一点 p 到平面 的距离
1 1 1 2 2 2
n
r
已知 AB 为平面 的一条斜线， n 为平面 的一个法
α
uuur r
向量， A 到平面 的距离为： | AB ? n |
d r
| n |
空间向量与立体几何练习题
一、选择题 z
如图，棱长为 2 的正方体
ABCD A1B1C1D1 在空间直角坐标
D1 C1
A1 B 1
系中，若

E, F 分别是
uuur BC , DD1 中点，则 EF

F
的坐标为（ ）
A. (1,2, 1) B. ( 1,2, 1)
C. ( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)
如图， ABCD— A1B1C1D1 是正方体， B1E1＝D1F1＝

A1 B1 4

，则 BE1 与
D(O) C y
E
A B
x
DF1 所