实对角矩阵的相似对角化-课件（PPT·精·选）.ppt

实对称矩阵的相似对角化 . 实对称矩阵的特征值与特征向量 . 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的特征值与特征向量定理 1实对称矩阵的特征值都是实数. 共轭矩阵具有以下性质: ,)1( TTAA?,)2(AkkA ?.)3(BA AB ?. 为实对称矩阵则称 A ,,AAAA T??若. )( 的共轭矩阵称为 A aA nm ij??,)( nm ijaA ??设??. a ij?定义 k可以是复数定理 1实对称矩阵的特征值都是实数.??.0,,, T 21?? naaa????A则, T TT????A 取转置,, T T???????A 两边右乘, T T???????即,0)( T??????移项,0 2211 T????? nnaaaaaa????.????, ????A证.???要证?A ???,???, T T????A即, T T???????设 A 是实对称矩阵, 推论 2实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量. . 个实特征值阶实对称矩阵有 n n(重根按重数计算) 推论 1??的非零解向量, 的特征向量都是这是因为 0??XAI A i?. 是实数的特征值而 iA?定理 2实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交. ??.0,0, 2121??????? 2 T11????? 2 T1??A? 2 T1?? TA? 22 T1????, 2 T12??????,0 2 T121???????,0 21?????证,, 222111????????A A设?? 2 T11??????.0, 2 T121??????? 2 T1??A?)( TAA???.0, 21???要证例设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3, A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是:????.,,,,, T 2 T 1121111??????????,3 1 的特征向量对应于特征值求A??.2A 求矩阵??的特征向量是: 对应于设31A????,02, 0 , 32132 32131?????????xxx xxx??????.1,0,1 T 3??解??则,,, T3213xxx??0 2 31??x xx ??则设,111 021 111 321???????????????????P??,3,2,1 1 diag AP P????. 1???PPA,303 121 2226 1 1?????????????????P 1??? 25 210 2 5213 6 1?????????????都存在一个阶实对称矩阵对任一,A n?????????????????n AC C AC C???? 2 11 T. ,,,, 21 的特征值是矩阵其中 A n????定理 3 使阶正交矩阵,C 对称矩阵的相似对角化,, 重特征值的是是实对称矩阵设kA A?.k 向量的个数恰为所对应的线性无关特征则?推论: 的步骤与对角矩阵求正交矩阵? C????;,,, 1 21n AIf??????: 的根求??????;,,, 0 2 21 i ir ii iXAI?????: 的基础解系求????;,,, ,,,3 21 21 i i ir ii ir ii????????: 正交化后再单位化得将????, 4 11 11 1kkr krC????????令??.,,, 21 1 T n diag AC C AC C?????????为正交矩阵且则C 例???????????????542 452 222A使, 对角矩阵与求正交矩阵? C.???? AC C AC C 1T???? 10 1542 452 222 2????????????????AI ??.10 ,1 2 1????二重解