无穷小无穷大极限运算法则.ppt

第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
第四节
机动 目录 上页 下页 返回 结束
无穷小与无穷大
无穷小无穷大极限运算法则
当
一、 无穷小
定义1 (P39). 若
时 , 函数
则称函数
例1 (P39) :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小 .
时为无穷小.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明
无穷小无穷大极限运算法则
说明 (P39):
2、 0是可以作为无穷小的唯一常数
时 , 函数
(或 )
则称函数
为
定义1. 若
(或 )
则
时的无穷小 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1、无穷小不是很小的数
定理1
无穷小无穷大极限运算法则
其中 为
时的无穷小量 .
定理 1 (P39) . ( 无穷小与函数极限的关系 )
证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
无穷大
无穷小无穷大极限运算法则
二、 无穷大
定义2 (P40) . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意
无穷小无穷大极限运算法则
注意(P40):
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例(P42题6), 函数
当
但
所以
时 ,
不是无穷大 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2
无穷小无穷大极限运算法则
例 2 (P40). 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
说明(P41):
机动 目录 上页 下页 返回 结束
无穷小无穷大关系
无穷小无穷大极限运算法则
三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
定理2 (P41). 在自变量的同一变化过程中,
说明:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2证明
无穷小无穷大极限运算法则
证 设
取
当
时，有
即
所以
为当
时的无穷小.
反之，设
且
取
当
时，有
由
得
所以
为当
时的无穷大.
内容小结
无穷小无穷大极限运算法则
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
思考与练习
P42 题1 , 3
P42 题3 提示:
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
无穷小无穷大极限运算法则