无穷小无穷大极限运算法则.ppt

关于无穷小无穷大极限运算法则
第1页，讲稿共30张，创作于星期二
当
一、 无穷小
定义1 (P39). 若
时 , 函数
则称函数
例1 (P39) :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
定理2 (P41). 在自变量的同一变化过程中,
说明:
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定理2证明
第8页，讲稿共30张，创作于星期二
证 设
取
当
时，有
即
所以
为当
时的无穷小.
反之，设
且
取
当
时，有
由
得
所以
为当
时的无穷大.
内容小结
第9页，讲稿共30张，创作于星期二
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
思考与练习
P42 题1 , 3
P42 题3 提示:
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第10页，讲稿共30张，创作于星期二
第一章
二、 极限的四则运算法则
三、 复合函数的极限运算法则
一 、无穷小运算法则
第五节
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极限运算法则
第11页，讲稿共30张，创作于星期二
时, 有
一、 无穷小运算法则
定理1 (P43). 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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说明
第12页，讲稿共30张，创作于星期二
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
( P56 , 题 4 (2) )
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
定理2
第13页，讲稿共30张，创作于星期二
定理2 (P43) . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
又设
即
当
时, 有
取
则当
时 , 就有
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 (P44) . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 (P44) . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1
第14页，讲稿共30张，创作于星期二
例1 (P48例8). 求
解:
利用定理 2 (P43) 可知
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极限四则运算法则
第15页，讲稿共30张，创作于星期二
二、 极限的四则运算法则
则有
定理 3 (P44). 若
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说明(P45): 定理 3 可推广到有限个函数相加、减、
乘的情形 .
推论
第16页，讲稿共30张，创作于星期二
推论 1 (P45) .
( C 为常数 )
推论 2 (P45).
( n 为正整数 )
例2 (P46). 设 n 次多项式
试证
证
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定理4
第17页，讲稿共30张，创作于星期二
定理4 (P45) . 若
则有
提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,
故此定理 可由
定理3 (P44) 直接得出结论 .
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例3
第18页，讲稿共30张，创作于星期二
x = 3 时分母为 0 !
例3 (P46). 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明 (P47): 若
不能直接用商的运算法则 .
例如.
若
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例4
第19页，讲稿共30张，创作于星期二
例4 (P47) . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
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由P41定理2有
例5
第20页，讲稿共30张，创作于星期二
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
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有理分式极限一般结果
第21页，讲稿共30张，