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函数的单调性
习题课
复习准备
对于给定区间D上的函数f(x),若对于D上的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是D上的增(减)函数,区间D称为f(x)的增(减)区间。
1、函数单调性的定义是什么?
复习准备
1、函数单调性的定义是什么?
2、证明函数单调性的步骤是什么?
证明函数单调性应该按下列步骤进行:
第一步:取值
第二步:作差变形
第三步:定号
第四步:判断下结论
复习准备
1、函数单调性的定义是什么?
2、证明函数单调性的步骤是什么?
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什么方法?
数值列表法(不常用)、
图象法、
定义法
题型一:用定义证明函数的单调性
例1、判断函数
f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x∈(0,+∞),函数f(x)是增函数还是减函数?
所以f(x)在(-∞,0)上是减函数
证明函数单调性的问题,只需严格按照定义的步骤就可以了。
题型二:图象法对单调性的判断
例2:指出下列函数的单调区间:
例2:指出下列函数的单调区间:
如果函数的图象比较好画,我们就画图象观察——图象法
利用图象法求单调区间的时候,应特别注意某些特殊点,尤其是图象发生急转弯的地方。用它们将定义域进行划分,再分别考察。
题型二:图象法对单调性的判断
结论1:y=f(x)(f(x) 恒不为0),与的单调性相反。
题型三:利用已知函数单调性判断
例3:判断函数
在(1,+∞)上的单调性。
题型三:利用已知函数单调性进行判断
例4:设f(x)在定义域A上是减函数,试判断y=3-2f(x)在A上的单调性,并说明理由。
解:y=3-2f(x)在A上是增函数,因为:
任取x1,x2∈A,且x1<x2,
由f(x)在A上为减函数,所以
f(x1)>f(x2),故-2 f(x1)<-2f(x2) 所以3-2 f(x1)<3-2f(x2)即有
y1<y2,由定义可知,y=3-2f(x)在A上为增函数。
结论2:
y=f(x)与y=kf(x)
当k>0时,单调性相同;
当k<0时,单调性相反。
题型三:利用已知函数单调性进行判断
结论3:若f(x)与g(x)在R上是增函数,则f(x)+g(x)也是增函数。
结论4:若f(x) 在R上是增函数, g(x)在R上是减函数,则
f(x) -g(x)也是增函数
结论5:若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数,则
也是增函数
结论6:复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系:
f(x)
g(x)
f[g(x)]