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§ 非齐次边界条件的处理
一、定解条件
2 <1>
ìutt ­ a u xx = 0
ï
ïu |x=0 = g (t)
ï
íu |x=l = h(t) <2>
ïu | = ϕ(x)
ï t =0
<3>
îïut |t=0 = ψ(x)
二、解题思路
若令 u(x,t) = X (x)T(t)
则: ìX (0)T (t) = g(t)
í
îX (l)T (t) = h(t)
可得:
ìX (0) = g(t) /T(t)
í
îX (l) = h(t) /T(t)
无法确定其值
所以,我们要使边界齐次化:
三、边界条件的处理
1、边界条件齐次化
首先,我们引入新的未知函数 v(x,t)
和辅助函数w(x,t)
令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) <4>
只要找到 w(x,t) ,使它具有性质:
ìw |x=0 = u |x=0 = g(t)
í
îw |x=l = w |x=l = h(t) <5>
ìv |x=0 = 0
则可使í
îv |x=l = 0
2、辅助函数 w( x, t) 的选取:
x ­ w
( 0 , g ( t ))
( l , h ( t ))
满足式<5>的即过 x ­ w 平面
和两点的曲线,此处我们选择直线。
令:w(x,t) = A(t)x + B(t)
则由式<5>可得:
ìA(t)×0 + B(t) = g(t)
í
îA(t)×l + B(t0 = h(t)
从而求得: ìB(t) = g(t)
í
îA(t) = [h(t) ­ g(t)]/ l
\ w(x,t) = [h(t) ­ g(t)]x / l + g(t) <6>
则定解问题<1>-<3>可化为;
2 2
ìvtt ­ a vxx = ­(wtt ­ a wxx ) <7>
ï
ïv |x=0 = 0
ï
ív |x=l = 0 <8>
ïv | = ϕ(x) ­ w(x,0)
ï t=0
<9>
îïvt |t=0 =ψ(x) ­ wt (x,0)
而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐次
方程的定解问题,可用本征函数法求解。
四、例题
1、研究一端固定,一端作周期运动 sinωt
的弦运动。
解:其定解问题为:
2
ìutt ­ a u xx = 0 , 0 < x < l
ï
íu(0,t) = 0 , u(l,t) = sin ωt
ï
îu(x, t) = u , ut (x,0) = 0 , 0 £ x £ l
令:u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)
由式<6>我们选择:
sinωt x
w(x,t) = x + 0 = sinωt
l l
则<7>-<9>变为:
2 2
ìvtt ­ a vxx = ω xsinωt / l
ï
ív(0,t) = v(l,t) = 0
ï
îv(x,0) = 0 , vt (x,0) = ­xω/ l
又令:
v(x,t) = vI (x,t) + vII (x,t)
I 2 I
其中: ìv tt ­ a v xx = 0
ï I I
ív (0,t) = v (l,t) = 0
ï I I
îv (x,0) = 0 , v t (x,0) = ­xω/ l
II 2 II 2
ìv tt ­ a v xx = ω xsinωt / l
ï II II
ív (0,t) = v (l,t) = 0
ï II II
îv (x,0) = v t (x,0) = 0
解之得: ¥ 2ωl nπ
vI (x,t) = (­1)n sin at
å 2
n=1 a(nπ) l
nπx
×sin
l
¥ ω 2t sinωt + sinω t
v I (x,t) = (­1)n+1 [ n
å 2
n=1 a(nπ) ω+ωn
sinω t ­ sinωt nπx
­ n ]sin
ωn ­ω l
nπa
其中: ω=
n l
故可求得此问题的解u(x,t)。
五、小结
1、以上介绍的方法也适用于带有其他非齐
次边界条件的定解问题
其基本做法是:
(1) 作变换令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)
(2) 适当选取w(x,t) 使关于v(x,t) 的边界条件
(有时甚至连方程均齐次化